Czy pole wektorowe jest potencjalne

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Czy pole wektorowe jest potencjalne

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 16:06

Niech \(\displaystyle{ P(x,y), \ Q(x,y)}\) będą funkcjami klacy \(\displaystyle{ C^2}\) określonymi w całej płaszczyźnie. Przypuśćmy, że dla każdej krzywej zamkniętej \(\displaystyle{ \Gamma}\) całka
\(\displaystyle{ \int_{ \Gamma} P(x+a,y+b)dx+Q(x+a,y+b)dy}\)
jest niezależna od liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Czy pole wektorowe \(\displaystyle{ F=(P,Q)}\) jest potencjalne? Uzasadnij odpowiedź.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Czy pole wektorowe jest potencjalne

Post autor: Chromosom » 26 sie 2011, o 21:13

dokonaj zamiany zmiennych

\(\displaystyle{ \begin{cases}u=x+a\\v=y+b\end{cases}}\)

taka zamiana oznacza przesunięcie układu współrzędnych. Wartość całki nie ulega zatem zmianie przy dowolnych przesunięciach krzywej względem układu współrzędnych. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie obszarem ograniczonym przez \(\displaystyle{ \Gamma}\); po podzieleniu obszaru na \(\displaystyle{ n}\) obszarów normalnych względem obu osi zajdzie równość

\(\displaystyle{ \oint\limits_\Gamma P(u,v)\,\text du+Q(u,v)\,\text dv=\sum\limits^n_{i=1}\left(\ \oint\limits_{\partial A_i}P(u,v)\,\text du+Q(u,v)\,\text dv\right)}\)

po skorzystaniu z twierdzenia Greena dla każdego z obszarów normalnych otrzymamy równość

\(\displaystyle{ \sum\limits^n_{i=1}\left(\ \oint\limits_{\partial A_i}P(u,v)\,\text du+Q(u,v)\,\text dv\right)=\sum\limits^n_{i=1}\iint\limits_{A_i}\left(\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\right)\,\text du\,\text dv}\)

nietrudno zauważyć, że dla niezerowej wartości wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}}\) (czyli dla pola wirowego, zatem niepotencjalnego) wartość całki możenie ulegać zmianie ze względu na przesunięcia, a będzie tak przykładowo w przypadku dowolnej stałej wartości tego wyrażenia. Przykładem takiego pola może być \(\displaystyle{ P(x,y)=2x+y,\ Q(x,y)=2x+y}\), które nie jest potencjalne, ale spełnia warunki zadania.

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Czy pole wektorowe jest potencjalne

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 21:40

Wielkie dzięki za rozwiązanie, chociaż kompletnie tego zadania nie rozumiem. Ale to już mały problem;p

ODPOWIEDZ