Udowodnić okresowość funkcji.

[Bartuson]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \cos\left( z\right) \ z \in \mathbb{C}}\) jest okresowy.
Wyszedłem od rozpisania \(\displaystyle{ \cos\left( z\right)= \frac{ e^{iz} + e^{-iz} }{2}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ e^{z}}\) jest okresowa z okresem \(\displaystyle{ 2k \pi i}\)

czyli po rozpisaniu \(\displaystyle{ e^{iz} \text{ i }e^{-iz}}\) mam \(\displaystyle{ 0,5\left( 2\cos\left( z+2k \pi i\right)+i\sin\left( z+2k \pi i\right)-i\sin\left( z+2k \pi i\right) \right)}\)

Wystarczy jak napisze ze sinusy są wtedy równe zero a cosinusy okresowe ?

[Adifek]

\(\displaystyle{ \cos\left( z+2\pi \right)= \frac{ e^{i(z+2\pi)} + e^{-i(z+2\pi)} }{2} = \frac{ e^{iz}e^{2i\pi} + e^{-iz}e^{-2i\pi} }{2}=\frac{ e^{iz}(e^{i\pi})^{2} + e^{-iz} (\frac{1}{e^{i\pi}})^{2} }{2} =\frac{ e^{iz}(-1)^{2} + e^{-iz} (\frac{1}{-1})^{2} }{2}=\frac{ e^{iz} + e^{-iz} }{2} = \cos z}\)

Bo \(\displaystyle{ e^{i\pi}=-1}\)

[Bartuson]

A gdybym musial udowodnic okresowosc \(\displaystyle{ \cosh\left( z\right)}\) to co dodac do \(\displaystyle{ z}\)?

[Adifek]

Ale \(\displaystyle{ \cosh \left( x\right)}\) nie jest okresowy

[Bartuson]

Wiesz mam takie zadanie w ksiazce: Dlaczego funkcja \(\displaystyle{ \cosh\left( z\right)}\)jest okresowa? Dlatego chcialem sie upewnic, wiem ze to m ksztalt paraboli.

[Adifek]

Po namyśle stwierdzam jednak, że dla argumentów zespolonych jednak będzie okresowa, a okres to pewnie będzie \(\displaystyle{ 2i \pi}\), ale muszę to sobie szybko gdzieś na boku przeliczyć.

-- 27 sierpnia 2011, 20:30 --

\(\displaystyle{ \cosh\left( z+2i\pi \right)= \frac{ e^{(z+2i\pi)} + e^{(z+2i\pi)} }{2} = \frac{ e^{z}e^{2i\pi} + e^{z}e^{-2i\pi} }{2}=\frac{ e^{z}(e^{i\pi})^{2} + e^{z} (\frac{1}{e^{i\pi}})^{2} }{2} =\frac{ e^{z}(-1)^{2} + e^{z} (\frac{1}{-1})^{2} }{2}=\frac{ e^{z} + e^{z} }{2} = \cosh z}\)