różniczkowalność funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

różniczkowalność funkcji

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 12:20

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f \left( x,y \right) = \left( x^2+y^2 \right) \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right)}\) dla \(\displaystyle{ (x,y) \neq(0,0)}\) i \(\displaystyle{ f(0,0)=0}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ f(x,y)}\) posiada pochodne cząstkowe pierwszego rzeędu w każdym punkcie \(\displaystyle{ (x,y)}\), że pochodne cząstkowe nie są ciągłe w \(\displaystyle{ (0,0)}\), ale \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ (0,0)}\).

\(\displaystyle{ f_{x}=2x \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) - \frac{2x\cos \frac{1}{x^2+y^2}}{y^2+x^2} \\ f_{y}=2y \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) - \frac{2y \cos \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) }{y^2+x^2} \\ \lim_{ \left( x,y \right) \to \left( 0,0 \right) } \frac{f \left( x,y \right) -f \left( x_{0},y_{0} \right) -df}{ \sqrt{ \left( x-x_{0} \right) ^2+ \left( y-y_{0} \right) ^2}}= \lim_{ \left( x,y \right) \to \left( 0,0 \right) } \frac{ \left( x^2+y^2 \right) \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) -0-0}{ \sqrt{x^2-y^2}}= \lim_{ \left( x,y \right) \to \left( 0,0 \right) } \sqrt{x^2+y^2} \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) =0}\)
Ciągłość:
\(\displaystyle{ \lim_{ \left( x,y \right) \to \left( 0,0 \right) } \left( x^2+y^2 \right) \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) = \infty \neq 0}\)

Mógłby ktoś sprawdzić?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 12:30 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

miodzio1988

różniczkowalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 26 sie 2011, o 12:21

Pochodna cząstkowa po \(\displaystyle{ x}\) juz zle

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

różniczkowalność funkcji

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 12:30

\(\displaystyle{ f_{x}=2x \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) - \left( x^2+y^2 \right) \cos \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) \frac{2x}{ \left( x^2+y^2 \right) ^2}}\)
A czy teraz jest dobrze?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 12:31 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

miodzio1988

różniczkowalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 26 sie 2011, o 12:31

A to nie jest to samo?

I jednak jest dobrze. Źle zerknąłem.

Ostatnia granica np jest źle policzona

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

różniczkowalność funkcji

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 12:35

w takim razie pochodna po \(\displaystyle{ y}\) będzie tez źle
\(\displaystyle{ f_{y}=2y \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) - \left( x^2+y^2 \right) \cos \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) \frac{2y}{ \left( x^2+y^2 \right) ^2}}\) ?
A czy różniczkowalność jest dobrze pokazana, wystarczy tak pokazać, że jest to równe \(\displaystyle{ 0}\)
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 12:37 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów. Proszę w końcu zacząć stosować poprawny zapis funkcji trygonometrycznych.

miodzio1988

różniczkowalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 26 sie 2011, o 12:39

Nie. Z definicji różniczkowalność masz pokazać

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

różniczkowalność funkcji

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 13:12

Sprawdzamy, że \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ (0,0)}\):
\(\displaystyle{ \lim_{P\to\ P _{0}} \frac{f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-df}{d(P,P_{0})}=0 \ ? \\ df= \frac{ \partial f}{ \partial x}(x_{0}-y_{0})(x-x_{0})+ \frac{ \partial f}{ \partial y}(x_{0}-y_{0})(y-y_{0}) \\ \frac{ \partial f}{ \partial x}(x_{0},y_{0})= \lim_{x\to\0} \frac{f(x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}}= \lim_{x\to\0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0 \\ \frac{ \partial f}{ \partial y}(x_{0},y_{0})= \lim_{y\to\0} \frac{f(x_{0},y)-f(x_{0},y_{0})}{y-y_{0}}= \lim_{y\to\0} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=0 \\ df=0(x-x_{0})+0(y-y_{0})=0 \\ \lim_{(x,y)\to\ (0,0)} \frac{(x^2+y^2)\sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right)-0-0}{ \sqrt{(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2}}=\lim_{(x,y)\to\ (0,0)} \frac{(x^2+y^2)\sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right)}{ \sqrt{x^2+y^2}}= \lim_{(x,y)\to\ (0,0)} \sqrt{x^2+y^2}\sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right)}\)
Czy tak wystarczy? Jak pokazać, że ta granica na końcu jest równa \(\displaystyle{ 0}\)?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 13:14 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji trygonometrycznych. \sin

miodzio1988

różniczkowalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 26 sie 2011, o 13:13

Coś ograniczonego pomnożone przez coś co w granicy daje nam zero wynosi zero

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

różniczkowalność funkcji

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 13:17

aha czyli \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}}\) w granicy daje nam \(\displaystyle{ 0}\), natomiast ten \(\displaystyle{ \sin}\) jest ograniczony?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 13:18 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \sin

miodzio1988

różniczkowalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 26 sie 2011, o 13:18

Zgadza się

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

różniczkowalność funkcji

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 13:19

A w takim razie jak jeszcze pokazać, że pochodne cząstkowe nie są ciągłe w \(\displaystyle{ (0,0)}\)?

miodzio1988

różniczkowalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 26 sie 2011, o 13:20

Pokazać, że \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0) }f _{x} \neq 0}\)

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

różniczkowalność funkcji

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 13:34

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\ (0,0)}2x\sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) -(x^2+y^2)\cos \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) \frac{2x}{(x^2+y^2)^2}= \\ \lim_{(x,y)\to\ (0,0)}2x\sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) -\cos \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) \frac{2x(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}}\)
Tutaj mamy \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) ograniczone, lecz nie wiem czy coś nam to da? Nie wiem co z tym dalej zrobić-- 26 sie 2011, o 15:11 --\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\ (0,0)}2x\sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) -(x^2+y^2)\cos \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) \frac{2x}{(x^2+y^2)^2}= \\ \lim_{(x,y)\to\ (0,0)}2x\sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) -\cos \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) \frac{2x(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}= \\ \lim_{(x,y)\to\ (0,0)} 2x \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) - \cos \left ( \frac{1}{x^2+y^2} \right ) \frac{2x}{x^2+y^2}= \\ \lim_{(x,y)\to\ (0,0)} -2x \left( \sin \frac{1}{x^2+y^2}+ \cos \frac{1}{x^2+y^2} \frac{1}{x^2+y^2} \right) = \lim_{(x,y)\to\ (0,0)} \frac{-2x}{x^2+y^2}}\)
Czy można to w ten sposób zrobić?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 13:37 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Proszę w końcu zacząć stosować poprawny zapis funkcji trygonometrycznych.

miodzio1988

różniczkowalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 26 sie 2011, o 14:12

Kawałkami bym nie radził przechodzić do granicy, ale jest ok.

Liczmy teraz na to, że ta granica nie istnieje i po zadaniu mamy

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

różniczkowalność funkcji

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 14:14

Jak kawałkami? Nie rozumiem. W takim razie tak możemy zostawić tą granicę i jest ona napewno różna od zera?

ODPOWIEDZ