Uzasadnić wzór na pole trójkąta ABC

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
diego_maradona
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 184
Rejestracja: 16 cze 2010, o 00:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 80 razy

Uzasadnić wzór na pole trójkąta ABC

Post autor: diego_maradona » 26 sie 2011, o 01:49

\(\displaystyle{ P=0.5 \cdot \left|\begin{array}{ccc}x _{1} &y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right| \\ \\ A= \left( x_{1},y _{1} \right) \\ B= \left( x_{2},y_{2} \right) \\ C= \left( x_{3} , y_{3} \right)}\)

Zrozumiałem, że potraktowano pole tego trójkąta jako objętość figury dwuwymiarowej, ale w takim razie w trzeciej kolumnie macierzy powinny być zera , a są jedynki. W takim razie jak rozwiązać to zadanie?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 10:08 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stosuj jedne klamry [latex][/latex] na całe wyrażenie.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Uzasadnić wzór na pole trójkąta ABC

Post autor: bartek118 » 26 sie 2011, o 09:21

Gdyby potraktowano to jako objętość takiej bryły, to faktycznie byłyby tam zera, bo objętość czegoś takiego to 0. Ja proponuję rozpisać ten wyznacznik i przyrównać do znanych już wzorów na pole

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Uzasadnić wzór na pole trójkąta ABC

Post autor: norwimaj » 26 sie 2011, o 09:28

Ja bym jeszcze przed rozpisaniem zamienił to na
\(\displaystyle{ 0{,}5\cdot \left|\begin{array}{ccc}x _{1} &y_{1}&1\\x_{2}-x_1&y_{2}-y_1&0\\x_{3}-x_1&y_{3}-y_1&0\end{array}\right|}\).

diego_maradona
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 184
Rejestracja: 16 cze 2010, o 00:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 80 razy

Uzasadnić wzór na pole trójkąta ABC

Post autor: diego_maradona » 27 sie 2011, o 14:05

Rozpisałem ten wyznacznik i wyszło

\(\displaystyle{ x_{1}y_{2} + y_{1}x_{3}+x_{2}y_{3}-y_{2}y_{3}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}}\)

Dalej mi to nic nie podpowiada-- 27 sie 2011, o 14:11 --chociaż zaraz... http://www.cke.edu.pl/images/stories/09 ... ablice.pdf jakby się dobrze przyjrzeć to wychodzi ten wzorek na 6 stronie... który można uzasadnić bez użycia wektorów ( normalnie obliczyć długość podstawy AB, oraz wysokość jako odległość punktu C od prostej AB.)
Dobrze kombinuję?

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Uzasadnić wzór na pole trójkąta ABC

Post autor: bartek118 » 27 sie 2011, o 20:23

Tak, można w taki sposób

ODPOWIEDZ