Dowód całkowalności z definicji

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Dowód całkowalności z definicji

Post autor: gobi12 » 26 sie 2011, o 01:31

Korzystając z definicji całki udowodnij, że funkcja stała \(\displaystyle{ f(x)=C , x \in \langle a,b\rangle}\) jest całkowalna oraz \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} C \mbox{d}x=C(b-a)}\)
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 07:39 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.9 instrukcji LaTeX-u.Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Dowód całkowalności z definicji

Post autor: Adifek » 26 sie 2011, o 01:53

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} C \mbox{d}x = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}f\left(a+ \frac{k}{n} \left( b-a \right) \right) \Delta x_{k}= \\ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} C \left( \left( a+ \frac{k}{n} \left( b-a \right) \right) - \left( a+ \frac{k-1}{n} \left( b-a \right) \right) \right) \\ = \lim_{n\to\infty} C \sum_{k=1}^{n} \left( \left( a+ \frac{k}{n} \left( b-a \right) \right) - \left( a+ \frac{k-1}{n} \left( b-a \right) \right) \right) \\ = \lim_{n\to\infty} C ( \left( a+ \frac{1}{n} \left( b-a \right) \right) - \left( a+ \frac{0}{n} \left( b-a \right) \right) + \left( a+ \frac{2}{n} \left( b-a \right) \right) - \left( a+ \frac{1}{n} \left( b-a \right) \right) +\ldots+ \left( a+ \frac{n}{n} \left( b-a \right) \right) - \left( a+ \frac{n-1}{n} \left( b-a \right) \right) ) =\\ \lim_{n\to\infty} C \left( b-a \right) =C \left( b-a \right)}\)
Dla punktów pośrednich \(\displaystyle{ x_{k}= a+\frac{k}{n} \left( b-a \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}}\)

Idzie duużo szybciej, ale ta oczywistość do mnie dotarła, gdy już się naprodukowałem
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 07:55 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Dowód całkowalności z definicji

Post autor: gobi12 » 26 sie 2011, o 01:59

Dziękuję bardzo.

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Dowód całkowalności z definicji

Post autor: Adifek » 26 sie 2011, o 02:06

Najłatwiej tak:
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} C \mbox{d}x = \lim_{\delta x\to 0} \sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}= \\ \lim_{\delta x\to 0} \sum_{k=1}^{n}C \Delta x_{k} =\lim_{\delta x\to 0} C\sum_{k=1}^{n} \Delta x_{k} = \lim_{\delta x\to 0} C (b-a)=C(b-a)}\)

Punkty pośrednie \(\displaystyle{ \xi _{k}}\), \(\displaystyle{ \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}}\) dla \(\displaystyle{ a=x_{0}<x_{1}< ...<x_{n}=b}\).

Ech, już późna pora, że o tym w drugiej kolejności napisałem ^^
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 07:55 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu różniczek.

ODPOWIEDZ