Sprawdzić zależność i obliczyć sumę szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Sprawdzić zależność i obliczyć sumę szeregu

Post autor: gobi12 » 26 sie 2011, o 01:17

Zadanie jest treści:
Sprawdzić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^{n} }{n} = -\ln (1-x)}\) dla \(\displaystyle{ |x| < 1}\) oraz obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n3^{n} }}\)

Pierwsza część to coś mi się kojarzy z różniczkowaniem i całkowaniem szeregów ale "na papierze" nie chce mi wyjść, na drugą część nie mam pomysłu. Pomożecie?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 07:57 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Sprawdzić zależność i obliczyć sumę szeregu

Post autor: Adifek » 26 sie 2011, o 01:36

Podpowiedź:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^{n} }{n} = \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \int\limit_{0}^{x} x^{n-1} \mbox{d}x \right)}\)

Natomiast w drugiej części wstawiasz \(\displaystyle{ x= \frac{1}{3}}\)
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 07:57 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Sprawdzić zależność i obliczyć sumę szeregu

Post autor: gobi12 » 26 sie 2011, o 01:58

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} \frac{x^{n} }{n} = \sum_{n=1}^{k} \left( \int_{0}^{x} x^{n-1} \mbox{d}x \right)}\)
więc:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} \left( \int_{0}^{x} nx^{n-1} \mbox{d}x \right) =\sum_{n=1}^{k} x^{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{x \left( 1- x^{n} \right)}{1-x} = \frac{x}{1-x}\\ \\ \left( \frac{x}{1-x} \right)^{\prime} = \frac{1}{ \left( 1-x \right) ^{2} }}\)


Tak?

-- 26 sierpnia 2011, 02:09 --

Co do drugiej części to nie za bardzo rozumiem za co miałbym podstawić to x i dlaczego.
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 08:00 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

mmttdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 23 lis 2010, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 20 razy

Sprawdzić zależność i obliczyć sumę szeregu

Post autor: mmttdd » 26 sie 2011, o 11:20

Nie,
jeśli szereg jest jednostajnie zbieżny i wszystkie jego wyrazy są całkowalne to zachodzi:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \left(\sum_{n=1}^{ \infty }f_n(x)\right) \mbox{d}x =\sum_{n=1}^{ \infty } \left( \int_{0}^{x} f_n(x) \mbox{d}x \right)}\)
więc:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^{n} }{n} = \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \int\limit_{0}^{x} x^{n-1} \mbox{d}x \right)= \int\limit_{0}^{x}\left( \sum_{n=1}^{ \infty }x^{n-1}\right) \mbox{d}x}\)
Obliczasz więc sumę szeregu geometrycznego i następnie ją całkujesz.
A tak nawiasem to skąd ci się nagle wzięło, że suma jest do \(\displaystyle{ k}\) skoro jest to szereg nieskończony?

W drugim przypadku masz szereg liczbowy, a aby skorzystać z twierdzeń o całkowaniu i różniczkowaniu szeregów musisz mieć szereg funkcyjny
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n3^{n} }=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1^n}{n3^{n} }=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \left( \frac{1}{3}\right)^n}\)
w miejsce \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wstawiasz zmienną \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n}}\) powinno ci to coś przypominać. Po obliczeniu sumy tego szeregu podstawiasz \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3}}\)

ODPOWIEDZ