Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: patricia__88 » 25 sie 2011, o 16:01

Obliczyć całkę \(\displaystyle{ \iint_{S}x^2dy \wedge dz}\) po powierzchni zewnętrznej sześcianu \(\displaystyle{ 0 \leqslant x \leqslant a, \ 0 \leqslant y \leqslant a, \ 0 \leqslant z \leqslant a}\). (Sprawdzić, czy wybrana parametryzacja jest zgodna z orientacją).

\(\displaystyle{ \iint_{S}x^2dydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}2xdxdydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}2\frac{x^2}{2}|^{a}_{0}dydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}a^2dydz= \int\limits_{0}^{a}a^2y|^{a}_{0}dz= \int\limits_{0}^{a}a^3dz=a^4}\)
Czy to zadanie jest dobrze rozwiązane?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: Chromosom » 25 sie 2011, o 19:54

Poprawnie. Sprawdź jeszcze zgodność parametryzacji.

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: patricia__88 » 25 sie 2011, o 20:30

patricia__88 pisze:\(\displaystyle{ \iint_{S}x^2dydz= \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{a}2xdxdydz}\)
A właściwie to dlaczego w tym miejscu różniczkujemy to wyrażenie?
I jak sprawdzić parametryzację, jeżeli nie mamy z czego policzyć Jacobianu?
Ostatnio zmieniony 25 sie 2011, o 20:35 przez patricia__88, łącznie zmieniany 1 raz.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: Chromosom » 25 sie 2011, o 20:30

twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: patricia__88 » 25 sie 2011, o 20:43

A no ok już rozumiem, a jeśli chodzi o tą parametryzację? Jak ją sprawdzić, bo znam tylko metodę z Jacobianem, a tutaj nie mamy z czego wyznaczyć Jacobianu.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: Chromosom » 25 sie 2011, o 21:12

Wpisz w wyszukiwarce "orientacja powierzchni kawałkami gładkiej" - wyniki są zadowalające. Ponadto w przypadku powierzchni zamkniętych, z jaką w tym przypadku mamy do czynienia, i jakie rozważa się w twierdzeniu Gaussa-Ostrogradskiego, stronę zewnętrzną przyjmuje się jako tę o dodatniej orientacji.

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 11:55

W zadaniu mam podpowiedź, że można skorzystać z tw. Stokesa, jak można to twierdzenie zastosować w tym przypadku? I jakimi innmi sposobami można sprawdzić zgodność parametryzacji? "Suche" definicje z google nie za dużo mi dały.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: Chromosom » 26 sie 2011, o 19:42

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Stokesa (jego ogólnej postaci, wiążącej całkę po zbiorze z całką po brzegu zbioru) zatem jest to jego zastosowanie. Zgodność parametryzacji możesz zbadać obliczając współrzędne wektora normalnego do powierzchni. Taki wektor musi być skierowany od strony ujemnej do dodatniej, więc w niektórych przypadkach trzeba zmienić jego znak - wtedy parametryzacja nie jest zgodna z orientacją.

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 20:26

czyli najpierw muszę wyznaczyć równania parametryczne \(\displaystyle{ x, \ y, \ z}\)?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: Chromosom » 26 sie 2011, o 20:40

musisz wyznaczyć równania parametryczne każdej ze ścian sześcianu ponieważ jest to powierzchnia kawałkami gładka

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 20:49

Jak to zrobić skoro nawet nie mamy podanych punktów przez które ta powierzchnia przechodzi?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: Chromosom » 26 sie 2011, o 20:59

patricia__88 pisze:powierzchni zewnętrznej sześcianu \(\displaystyle{ 0 \leqslant x \leqslant a, \ 0 \leqslant y \leqslant a, \ 0 \leqslant z \leqslant a}\)
wykonaj rysunek przedstawiający ten sześcian

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 21:10


Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: Chromosom » 26 sie 2011, o 21:15

dobrze, na początek sparametryzuj zatem dolną ścianę sześcianu

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Całka po powierzchni zewnętrznej sześcianu

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 21:25

\(\displaystyle{ - \frac{1}{a}x- \frac{1}{a}y+1=0}\)

ODPOWIEDZ