Matematyka.pl

Zad: Ile jest istotnie różnych kolorowań ścian sześcianu 3 kolorami.

Zastosujemy lemat Burnside'a. Nie wiem czy znalazłem wszystkie możliwe permutacje ścian, ale:
\(\displaystyle{ \left[ 1, 4, 6, 3\right]\left[ 2\right]\left[ 5\right] \\
\left[ 1, 3, 6, 4\right]\left[ 2\right]\left[ 5\right]\\
\left[ 1, 5, 6, 2\right]\left[ 3\right]\left[ 4\right]\\
\left[ 1, 2, 6, 5\right]\left[ 3\right]\left[ 4\right]\\
\left[ 2, 3, 5, 4\right]\left[ 1\right]\left[ 6\right]\\
\left[ 2, 4, 5, 3\right]\left[ 1\right]\left[ 6\right]\\
\left[1, 6 \right] \left[3, 4 \right] \left[ 2\right]\left[ 5\right]\\
\left[1, 6 \right] \left[2, 5 \right] \left[ 3\right]\left[ 4\right]\\
\left[ 1\right]\left[ 2\right]\left[ 3\right] \left[ 4\right]\left[ 5\right]\left[ 6\right]}\)

Wtedy szukana liczba to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{9} (6 \cdot 3^3+3^6+2 \cdot 3^4) = 117}\)
Jeśli są jeszcze jakies permutacje, których nie dostrzegłem, to proszę o pomoc.

-- 25 sie 2011, o 16:08 --

Jeśli więcej nie ma, to też proszę o jakąś odpowiedź.

Nie do końca wiem co tu się dzieje (pionowe ściany zawsze numeruję po kolei i mi się plącze), ale chyba jest źle.
Przelicz jeszcze raz, obroty są następujące:

• 3 osie przez środki przeciwległych ścian i obroty o 90,270 (3 cykle) i 180 (4 cykle) stopni
• 4 osie przez przeciwległe wierzchołki i obroty o 120 i 240 stopni (2 cykle)
• 6 osi przez środki przeciwległych krawędzi i obroty o 180 stopni (3 cykle)
• identyczność

Razem 24 permutacje i jeżeli się nie pomyliłem, to po podstawieniu liczby kolorów do indeksu cykli powinno wyjść tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{24} \left( 3^6 + 6 \cdot 3^2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3^3 \right)}\)

Polecam kostkę rubika i Palka Ruciński, tam jest to dobrze opisane.