Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny

Post autor: kamil13151 » 25 sie 2011, o 12:51

Na bokach trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ ABC}\) (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty \(\displaystyle{ ABDE}\), \(\displaystyle{ CBGH}\) i \(\displaystyle{ ACKL}\). Udowodnij, że trójkąt \(\displaystyle{ KGE}\) jest równoboczny.



Rozwiązanie moje:
By trójkąt \(\displaystyle{ KGE}\) był równoboczny musi zachodzić \(\displaystyle{ |KG|=|GE|=|EK|}\). Zauważamy, że trójkąty \(\displaystyle{ GBE}\), \(\displaystyle{ KAE}\), \(\displaystyle{ KCG}\) są identyczne na mocy twierdzenia bok-kąt-bok, każdy z nich posiada bok jednego z kwadratów, jego przekątną oraz taki sam kąt - \(\displaystyle{ |\angle GBE|=|\angle KAE|=|\angle KCG|=165^{\circ}}\). Tak więc zachodzi \(\displaystyle{ |KG|=|GE|=|EK|}\), stąd trójkąt \(\displaystyle{ KGE}\) jest równoboczny.

Czy dobrze opisałem? Jak to jeszcze można rozwiązać?

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny

Post autor: bakala12 » 25 sie 2011, o 17:07

Jak to jeszcze można rozwiązać?
Może liczby zespolone
Ale to twoje może być, chociaż nie podoba mi się pierwsze zdanie, bo to tak jak byś chciał wykorzystać tezę żeby ją udowodnić.-- 25 sie 2011, o 17:09 --
są identyczne na mocy twierdzenia bok-kąt-bok
Ja zamieniłbym to na:
są przystające na mocy cechy przystawania trójkątów bok-kąt-bok

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny

Post autor: Adifek » 25 sie 2011, o 18:08

Można prościej. Przyjąć \(\displaystyle{ a}\) za długość boków kwadratów (wszystkie są przystające, co jest oczywiste). Dorysować przekątne \(\displaystyle{ KA}\), \(\displaystyle{ CG}\), \(\displaystyle{ EB}\) i długości boków naszego trójkąta policzyć z twierdzenia cosinusów
Ostatnio zmieniony 25 sie 2011, o 23:50 przez Adifek, łącznie zmieniany 1 raz.

ODPOWIEDZ