całka po krzywej Vivaniego

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 » 25 sie 2011, o 11:15

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie krzywą określoną przez warunki:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=a^2\\x^2+y^2=ax\\z \geqslant 0 \\a>0}\)
Znajdź parametryzację krzywej \(\displaystyle{ K}\) przebieganej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara dla obserwatora umieszczonego na osi \(\displaystyle{ x}\) dla \(\displaystyle{ x>a}\). Oblicz całkę skierowaną po krzywej \(\displaystyle{ K}\) z formy \(\displaystyle{ w=z^2dy}\).

Pierwszy problem mam w tym, że jest to dość skomplikowany rysunek i nie wiem jak go narysować.
Ostatnio zmieniony 25 sie 2011, o 15:12 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: zadanie bardziej pasuje do "rachunku całkowego", zmiana nazwy tematu

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom » 25 sie 2011, o 15:14

patricia__88 pisze:Pierwszy problem mam w tym, że jest to dość skomplikowany rysunek i nie wiem jak go narysować.
patricia__88 pisze:\(\displaystyle{ x^2+y^2=ax}\)
Przekształć to równanie tak żeby otrzymać równanie walca, czyli odejmij stronami \(\displaystyle{ ax}\). Taka forma nazywana jest krzywą Vivaniego - masz prawo tego nie wiedzieć, niemniej jednak zmieniłem nazwę tematu by lepiej opisywała zadanie.

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 » 25 sie 2011, o 15:48

Nie wiem czy dokładnie o to chodziło:
\(\displaystyle{ x^2+y^2-ax=0}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: miki999 » 25 sie 2011, o 16:21

Wskazówka, co dalej: \(\displaystyle{ x^2-ax=\left(x- \frac{a}{2} \right)^2- \frac{a^2}{4}}\)

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 » 25 sie 2011, o 16:53

Zatem \(\displaystyle{ \left (x- \frac{a}{2} \right)^2+y^2=\left ( \frac{a}{2} \right)^2}\)
Ok w takim razie to drugie równanie jest kulą. Spróbuje to narysować i tutaj wkleić-- 25 sie 2011, o 18:17 --http://img40.imageshack.us/img40/4117/krzywak.png
Jednak nadal nie rozumiem która to krzywa

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Crizz » 25 sie 2011, o 18:42

To jest taki walec z zaokrągloną "końcówką" , ścięty kulą. Na Twoim rysunku nie jest to dobrze widoczne, może zobaczysz to lepiej, zaznaczajac koło wielkie tej kuli w płaszczyźnie \(\displaystyle{ XOY}\) (wraz z okręgiem wyznaczonym przez drugie równanie).

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 » 25 sie 2011, o 18:52

Czy to będzie coś takiego (zaznaczone na czerwono)?
http://img683.imageshack.us/img683/5416/krzywa.png
Co dalej należy wykonać, jak znaleźć parametryzację?

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Crizz » 25 sie 2011, o 19:31

Narysuj sobie płaszczyznę XOY. zaznacz w niej koło wielkie tej kuli oraz okrąg wyznaczony przez to drugie równanie. Te dwie figury są styczne wewnętrznie.

Teraz zapomnij na chwilę o kuli. Mamy drugie równanie, ono wyznacza nieskończony walec. Dokładamy \(\displaystyle{ z \ge 0}\) i mamy taki "półnieskończony walec", który ma jedną podstawę na płaszczyźnie XOY ( bo "odcinamy" go płaszczyzną \(\displaystyle{ z=0}\)). Na koniec dokładamy sferę opisaną pierwszym równaniem - obcinamy nią walec z drugiej strony (już nie ma nieskończonej wysokości, siega tylko do powierzchni sfery).

Rysunek wygląda mniej więcej tak:


Uploaded with ImageShack.us

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom » 25 sie 2011, o 19:40

patricia__88 pisze:Co dalej należy wykonać, jak znaleźć parametryzację?
Popatrz od góry na tę krzywą - zobaczysz okrąg. Najpierw wyznacz równania parametryczne \(\displaystyle{ x(t),\,y(t)}\) tego okręgu.

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 » 25 sie 2011, o 20:11

Aha czyli to jest tak jakby ćwiartka kuli?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom » 25 sie 2011, o 20:14

Nie; na rysunku rzeczywiście tak to wygląda, ale w rzeczywistości jest inaczej. Zauważ że rysunek jest przestrzenny. Dokonaj też parametryzacji o której mówiłem

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 » 25 sie 2011, o 21:00

Mam ciągle problem z tą parametryzacją tak tutaj jak i w innym zadaniu. Czy mogę prosić o jakąś pomoc?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom » 25 sie 2011, o 21:14

http://pl.wikipedia.org/wiki/Okr%C4%85g - poddział definicja; znajdziesz tam równania parametryczne okręgu. Od tego trzeba zacząć, bo inaczej nie uda się rozwiązać zadania. Określ najpierw położenie środka tego okręgu oraz jego promień. Wykonaj rysunek przedstawiający bryłę w rzucie na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxy}\).

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 » 26 sie 2011, o 11:50

\(\displaystyle{ x= \frac{a}{2}+ \frac{a}{2}\cos \alpha \\ y= \frac{a}{2}\sin \alpha}\)
Czy to jest dobrze, co dalej?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 12:02 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom » 26 sie 2011, o 19:33

Bardzo dobrze. Zauważ że górną część powierzchni kuli można opisać równaniem \(\displaystyle{ z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\), czyli \(\displaystyle{ z(t)=\sqrt{R^2-\bigl(x(t)\bigr)^2-\bigl(y(t)\bigr)^2}}\); podstaw zatem do tej zależności równania parametryczne i uprość otrzymane wyrażenie.

ODPOWIEDZ