Całki krzywoliniowe...

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Całki krzywoliniowe...

Post autor: Karoll_Fizyk » 25 sie 2011, o 00:43

Witam wszystkich! Chciałem tylko zapytać, czy rozpisali byście mi lub podali jakiś link do dowodu na wzór przejścia z całki krzywoliniowej na oznaczoną? Osobiście szukałem w Internecie, ale niestety nie znalazłem.
Chodzi mi o dowód tej równości:
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} P(x,y) \mbox{d}x + Q(x,y) \mbox{d}y = \int_{a}^{b} P(x(t),y(t)) x'(t) \mbox{d}t + Q(x(t),y(t)) y'(t) \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ a \le t \le b}\)

Z góry dziękuję za pomoc!

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Całki krzywoliniowe...

Post autor: octahedron » 27 sie 2011, o 14:41

z tw. Lagrange'a:
\(\displaystyle{ \Delta x=x(t_2)-x(t_1)=x'(t_c)(t_2-t_1)=x'(t_c)\Delta t,\ t_c\in[t_1,t_2]}\)

\(\displaystyle{ \int_L P(x,y)dx=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_L P(x,y)\Delta x=\lim_{\Delta t\to 0}\sum_L P(x(t),y(t))x'(t_c)\Delta t=\int_a^bP(x(t),y(t))x'(t)\mbox{d}t}\)

i analogicznie \(\displaystyle{ \int_L Q(x,y)dy}\)

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Całki krzywoliniowe...

Post autor: Karoll_Fizyk » 27 sie 2011, o 16:21

Fajnie to rozpisałeś... Właśnie takiego dowodu szukałem, ponieważ wydawało mi się, że ten wzór lekko kłóci się z przejściem:
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} P(x,y) \mbox{d}x + Q(x,y) \mbox{d}y = \int_{a}^{b} \left[ P(x,y) + Q(x,y) \cdot \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } \right] \mbox{d}x}\)
To jest całkiem proste i logiczne przejście, natomiast nie wiem, co mam sądzić o tym przejściu na tle tw. Lagrange'a... Dzięki za pomoc!

ODPOWIEDZ