Wyznaczyć ekstrema funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
mickeee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 sie 2011, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsyawa

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: mickeee » 24 sie 2011, o 21:27

Witam ponownie tym razem zabrałem się za ekstrema i robię taki przykład.

\(\displaystyle{ f(x,y)= x^{3}+ y^{3}-3xy}\)

`obliczam pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i wychodzi
\(\displaystyle{ f'_{x}= 3x^{2}-3y \\ f'_{y}= 3y^{2}-3x}\)

Teraz muszę wyznaczyć punkty stacjonarne :

\(\displaystyle{ 3x^{2}-3y=0 \\ 3y^{2}-3x=0 \\ \\ 3y^{2}-3x=0 \\ 3y^{2}=3x \\ y^{2}=x}\)

podstawiam

\(\displaystyle{ 3y^{4}-3y=0 \\ y^{4}-y=0 \\ y(y^{3}-1)=0\\ y=0,(y-1)(y^{2}+y+1)=0 \\ y=0, y=1, \Delta<0}\)

Jak teraz te punkty wyznaczyć ?? , potem obliczę pochodną cząstkową rzędu \(\displaystyle{ 2}\) , i będzie trzeba zbudować wyznacznik. Mógłby ktoś rozwiązać to do końca byłbym bardzo wdzięczny:)

`Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 24 sie 2011, o 21:31 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Stosuj jedne tagi [latex][/latex] na całe wyrażenia.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: ares41 » 24 sie 2011, o 21:36

Teraz odpowiedz sobie na pytanie ile wynoszą iksy dla obliczonych igreków, tak aby układ równań był spełniony, tj. :
\(\displaystyle{ y=0 \Rightarrow x=....... \\ y=1 \Rightarrow x=.......}\)

mickeee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 sie 2011, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsyawa

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: mickeee » 24 sie 2011, o 22:01

okej czyli wyszło mi, że

\(\displaystyle{ x=0 , x=1}\)

czyli będzie \(\displaystyle{ A(0,0) , B(1,1)}\)

teraz obliczam pochodne cząstkowe 2 rzędu

\(\displaystyle{ f''_{xx}=6x\\ f''_{yy}=6y\\ f''_{xy}=-3\\ f''_{yx}=-3}\)

i buduję wyznacznik;

\(\displaystyle{ W(1,1) = 27\\ W(0,0) = 9}\)

i właśnie jak określić minimum, maksimum etc ,
`dzięki
Ostatnio zmieniony 24 sie 2011, o 22:05 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: ares41 » 24 sie 2011, o 22:15

Zbadaj znak drugiej pochodnej \(\displaystyle{ f''_{xx}}\) w tych punktach.

mickeee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 sie 2011, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsyawa

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: mickeee » 24 sie 2011, o 22:29

\(\displaystyle{ B(1,1) \ f''_{xx} > 0}\) , czyli osiąga maksimum ??
Ostatnio zmieniony 24 sie 2011, o 22:29 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: ares41 » 24 sie 2011, o 22:30

Raczej minimum.

mickeee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 sie 2011, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsyawa

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: mickeee » 24 sie 2011, o 22:35

racja racja, i teraz co do czego podstawić : ) ??

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: ares41 » 24 sie 2011, o 22:37

Rozumiem, że chodzi Ci o wyznaczenie wartości tego ekstremum. Współrzędne punktu, w którym jest to ekstremum (czyli pkt. \(\displaystyle{ B}\) ) wstawiasz do wzoru funkcji.

mickeee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 sie 2011, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsyawa

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: mickeee » 24 sie 2011, o 22:45

Ok mam, dzięki ares41 za pomoc, pozdrawiam serdecznie.

ODPOWIEDZ