Sumy szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Sumy szeregu

Post autor: Giks » 24 sie 2011, o 19:17

Mam obliczyć sumę częściową potem jeśli istnieje sume ciągu o wyrazach:
\(\displaystyle{ a _{1}=800, a _{2}=400, a _{3}=200}\)
Obliczam więc
\(\displaystyle{ q= \frac{a _{2} }{a _{1} }= \frac{400}{800}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ S _{n} = \frac{a _{1} (1-q ^{n}) }{1-q}= \frac{800 \left( 1- \frac{1}{2 ^{n} } \right) }{ \frac{1}{2} }=400 \left( 1- \frac{1}{2 ^{n} } \right)}\)
\(\displaystyle{ S=n\lim_{ \to \infty }S _{n}= \lim_{ n\to \infty }400 \left( 1- \frac{1}{2 ^{n} } \right)}\)
I jak to dalej pociągnąć? dobrze robię do tego momentu?
Bo dalej przekształcam to tak:
\(\displaystyle{ = \lim_{ n\to \infty }400 \sqrt[2 ^{n} \right] { \left( 1- \frac{1}{2 ^{n} } \right) ^{2 ^{n} } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{400}{ \sqrt[2 ^{n} ]{e} }}\)
Ale to chyba jakoś inaczej trzeba co?
Ostatnio zmieniony 24 sie 2011, o 23:31 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

Sumy szeregu

Post autor: mateuszek89 » 24 sie 2011, o 19:31

\(\displaystyle{ S_n}\) prawie ok, ale masz błąd w rachunkach. Zamiast \(\displaystyle{ 400}\) powinno być \(\displaystyle{ 1600}\).
To szereg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}<1}\) stąd suma tego szeregu to zwyczajnie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}q^n=\frac{a_1}{1-q}}\).
Pozdrawiam!

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Sumy szeregu

Post autor: Giks » 24 sie 2011, o 19:38

A no tak dzięki!
Można tą sumę tak jak mi mówisz ale czyli ja tam nie potrzebnie się tak męczyłem ale tak ogólnie to to rozwiązanie sumy jest poprawnie? Tzn czysto matematycznie bo zrobić to należy z tego wzoru co podałeś (już pomijając te 400 zamiast 1600 - chodzi mi o tą granice).

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

Sumy szeregu

Post autor: mateuszek89 » 24 sie 2011, o 19:40

wg mnie wszystko jest ok. Jest to szereg geometryczny więc sumę tego szeregu możesz policzyć z takiego wzoru

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Sumy szeregu

Post autor: Giks » 24 sie 2011, o 19:43

Ale mi chodzi o ten fragment czy jest poprawny (wiem, że trzeba z tego wzoru co podałeś ale gdyby taki wzór nie istniał załóżmy to czy tą granicę liczę dobrze?
Giks pisze: \(\displaystyle{ S=n\lim_{ \to \infty }S _{n}= \lim_{ n\to \infty }400(1- \frac{1}{2 ^{n} })}\)
I jak to dalej pociągnąć? dobrze robię do tego momentu?
Bo dalej przekształcam to tak:
\(\displaystyle{ = \lim_{ n\to \infty }400 \sqrt[2 ^{n} ]{(1- \frac{1}{2 ^{n} }) ^{2 ^{n} } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{400}{ \sqrt[2 ^{n} ]{e} }}\)
Ale to chyba jakoś inaczej trzeba co?

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

Sumy szeregu

Post autor: mateuszek89 » 24 sie 2011, o 19:48

Najlepiej zwyczajnie przejść do nieskończoności w \(\displaystyle{ S_n}\) i mamy. \(\displaystyle{ S= \lim_{n \to +\infty}S_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}}\), bo \(\displaystyle{ |q|<1}\), a \(\displaystyle{ a_1}\) to jakaś stała.

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Sumy szeregu

Post autor: Giks » 24 sie 2011, o 20:17

A jak by było z sumą takiego szeregu gdzie \(\displaystyle{ S _{n}=- \frac{1}{900}(1-10 ^{n})}\)
\(\displaystyle{ q=10, a ^{1}= \frac{1}{100}}\)

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

Sumy szeregu

Post autor: mateuszek89 » 24 sie 2011, o 20:20

\(\displaystyle{ S_n}\) ok tylko zamknij nawias. A jeśli chodzi o sumę to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}}\) jest wtedy rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\).

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Sumy szeregu

Post autor: Giks » 24 sie 2011, o 22:03

Ok to były szeregi z ciągami geometrycznymi z arytmetycznymi może też bym sobie poradził bo są na ich sumę wzory ale co gdy pojawi się np taki szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n+3)}}\)
Jak wyznaczyć wzór na sunę czegoś takiego? Gdyby tam w mianowniku było \(\displaystyle{ n(n+1)}\) to jeszcze bym sobie poradził obliczając kilka początkowych sum zauważył bym analogię ale tu nie widzę nic jest jakiś na to przepis?

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Sumy szeregu

Post autor: Adifek » 25 sie 2011, o 00:14

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}- \frac{1}{n+3} = \frac{3}{n(n+3)}}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \left( n+3 \right) }= \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}- \frac{1}{n+3} \right) = \frac{1}{3} \left[ \left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}... \right) - \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+... \right) \right] =\frac{1}{3} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right) =\frac{11}{18}}\)
Ostatnio zmieniony 25 sie 2011, o 00:16 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Sumy szeregu

Post autor: Giks » 25 sie 2011, o 19:39

A czym jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) przed nawisem i jak liczy się ten ostatni nawias:
Adifek pisze: \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right)}\)

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Sumy szeregu

Post autor: Adifek » 25 sie 2011, o 23:40

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) bierze się z pierwszej linijki mojego postu

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Sumy szeregu

Post autor: Giks » 26 sie 2011, o 13:14

No ok ale ty obliczyłeś mi od razu sumę a jak wygląda wzór na \(\displaystyle{ S _{n}}\) bo o to mi raczej chodziło?

mmttdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 23 lis 2010, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 20 razy

Sumy szeregu

Post autor: mmttdd » 26 sie 2011, o 13:42

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k \left( k+3 \right) }= \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k}- \frac{1}{k+3} \right) =\\ \frac{1}{3} \left[ \left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n} \right) - \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3} \right) \right]=\frac{1}{3} \left(1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)=\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3} \right)}\)
przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\) zostaje samo \(\displaystyle{ \frac{11}{18}}\)

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Sumy szeregu

Post autor: Giks » 26 sie 2011, o 14:06

Nadal nie o to mi chodzi. Ja chciałem wzór na sumę częściową \(\displaystyle{ S _{n}}\) czyli wzór po podstawieniu za który otrzymamy sumę n- elementów.
Np. gdybyśmy mieli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n+1)}}\) wzór wyglądał by tak: \(\displaystyle{ S _{n}=1- \frac{1}{n+1}}\) a jak w przypadku o który pytam?

ODPOWIEDZ