całka potrójna - kula

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
kielbasa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 14 wrz 2009, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 72 razy

całka potrójna - kula

Post autor: kielbasa » 24 sie 2011, o 15:18

Mamy taką całkę :

\(\displaystyle{ \iiint\limits_V \sqrt{x^{2} +y^{2} + z^{2}} \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)

gdzie \(\displaystyle{ V=\left\{ \left( x,y,z\right) \in R^{3} :x^{2}+y^{2}+z^{2}-y \le 0 \right\}}\)

Rozumiem że zapisujemy to tak :

\(\displaystyle{ x^{2}+\left( y- \frac{1}{2} \right)^{2}+z^{2} \le \left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}\)

I nasza kula ma środek w \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{1}{2} ,0\right)}\) oraz promień równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Wprowadzamy współrzędne sferyczne :

\(\displaystyle{ x=r\, \sin\theta \, \cos\phi \\ y=r\, \sin\theta \, \sin\phi \\ z=r\, \cos\theta}\)

I teraz pytanie ... Jak wyczytać z rysunku granice całkowania dla \(\displaystyle{ r, \theta, \phi}\) ?

rysunek :



Jakieś pomysły ?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka potrójna - kula

Post autor: Chromosom » 24 sie 2011, o 20:07

Najpierw granice dla \(\displaystyle{ r}\) wyznacz. Rozwiązywałeś kiedyś zadania z przesuniętym w ten sposób okręgiem? w tym przypadku procedura jest podobna.

Awatar użytkownika
kielbasa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 14 wrz 2009, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 72 razy

całka potrójna - kula

Post autor: kielbasa » 24 sie 2011, o 20:24

wyznaczałem i wiem że robi się trójkąt prostokątny i za pomocą funkcji trygonometrycznej się go opisuje ... mam racje ?



\(\displaystyle{ \cos \theta = \frac{r}{1}}\)
Ostatnio zmieniony 24 sie 2011, o 20:35 przez kielbasa, łącznie zmieniany 2 razy.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka potrójna - kula

Post autor: Chromosom » 24 sie 2011, o 20:25

Zgadza się. Zrób zatem tak jak mówisz.

Awatar użytkownika
kielbasa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 14 wrz 2009, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 72 razy

całka potrójna - kula

Post autor: kielbasa » 24 sie 2011, o 20:35

\(\displaystyle{ 0 \le r \le \cos \theta}\)

Czy tak prawidłowo ?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka potrójna - kula

Post autor: Chromosom » 24 sie 2011, o 20:40

Bardzo podobnie, ale jednak trochę inaczej. Zauważ że w tym przypadku dla \(\displaystyle{ \theta=0}\) promień jest zerowy, popraw zatem swój wzór. I oczywiście taka sytuacja występuje tylko przy \(\displaystyle{ \phi=\frac\pi2}\), ale wpływ tej zmiennej można uwzględnić później. Jest to geometryczna metoda wyznaczenia granic całkowania; wynik można też uzyskać posługując się równaniami tej bryły.

Awatar użytkownika
kielbasa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 14 wrz 2009, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 72 razy

całka potrójna - kula

Post autor: kielbasa » 24 sie 2011, o 21:56

nie za bardzo rozumiem co masz na myśli . Fajnie byłoby jak byś mógł mi to jakoś pokazać na przykładzie albo naprowadzić ... naprawdę mam z tym problem.-- 24 sie 2011, o 22:04 --
Chromosom pisze:Bardzo podobnie, ale jednak trochę inaczej. Zauważ że w tym przypadku dla \(\displaystyle{ \theta=0}\) promień jest zerowy, popraw zatem swój wzór...
Jeśli chodzi o

\(\displaystyle{ \cos \theta = \frac{r}{1}}\) to promień chyba nie będzie zerowy ... nie rozumiem zbytnio o co chodzi...

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka potrójna - kula

Post autor: Chromosom » 25 sie 2011, o 08:35

Czy musisz rozwiązać to zadanie geometrycznie? znacznie szybciej byłoby podstawić do równania powierzchni nowe zmienne.
nie za bardzo rozumiem co masz na myśli . Fajnie byłoby jak byś mógł mi to jakoś pokazać na przykładzie albo naprowadzić ... naprawdę mam z tym problem.
Zaczynasz od \(\displaystyle{ \theta=0}\) i wtedy promień jest zerowy. Potem gdy \(\displaystyle{ \theta}\) dąży do \(\displaystyle{ \frac\pi2}\) promień zwiększa się, aż osiąga wartość 1. Możesz tego nie wiedzieć, więc powiem Ci że odpowiednie równanie ma postać \(\displaystyle{ r(\theta)=\sin\theta}\). Taka sytuacja jest dla \(\displaystyle{ \phi=0}\) ponieważ promień największego okręgu jest różny dla różnego \(\displaystyle{ \phi}\). Musisz więc znaleźć bardziej ogólne równanie, w którym to uwzględnisz. Zdaję sobie sprawę że to wytłumaczenie może być niezrozumiałe, więc napisz jeśli coś sprawia Ci problem, wtedy dokładniej opiszę tę część rozwiązania.

Awatar użytkownika
kielbasa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 14 wrz 2009, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 72 razy

całka potrójna - kula

Post autor: kielbasa » 25 sie 2011, o 10:56

to jest jakaś masakra :D nic nie rozumiem ... nie mam pojęcia jak wyznaczyć te granice całkowania ... a zadanie nie muszę rozwiązywać geometrycznie ale rysunek miał za zadanie mi pomóc ale jakoś nie odgrywa swojej roli odpowiednio :)

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka potrójna - kula

Post autor: Chromosom » 25 sie 2011, o 15:08

podstaw zatem do tego równania:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}-y \le 0}\)
współrzędne sferyczne zgodnie z ich definicją

johny42
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 7 gru 2010, o 10:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Frampol
Podziękował: 9 razy

całka potrójna - kula

Post autor: johny42 » 26 sie 2011, o 13:35

Mam pytanie jeszcze co do tego zadania podstawie wspolrzedne sferyczne do rownania i wychodzi mi
\(\displaystyle{ r-\cos \theta \le 0\\r \le \cos \theta}\)
Mam wiec granice dla r, a jak postepowac w przypadku wyznaczania granic dla \(\displaystyle{ \theta}\)?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 19:25 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka potrójna - kula

Post autor: Chromosom » 26 sie 2011, o 19:27

Granice dla \(\displaystyle{ r}\) nie są poprawnie określone. Skorzystaj z wiadomości które już tutaj zamieściłem. Granice kątów można szybko wyznaczyć na podstawie rysunku.

johny42
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 7 gru 2010, o 10:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Frampol
Podziękował: 9 razy

całka potrójna - kula

Post autor: johny42 » 27 sie 2011, o 14:03

Granica dla r bedzie \(\displaystyle{ r\le \sin\theta \sin\phi}\) tak? A katy \(\displaystyle{ \theta \in \left[ 0, \frac{\pi }{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ \phi \in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]}\) ? I jest jakis inny sposob wyznaczania katow niz robienia tego z rysunku?
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 14:11 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka potrójna - kula

Post autor: Chromosom » 28 sie 2011, o 21:20

prawie dobrze, tylko że \(\displaystyle{ \theta\in\left[0,\,\pi]}\) oraz \(\displaystyle{ \phi\in\left[0,\,\pi\right]}\) (popatrz na rysunek)

johny42
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 7 gru 2010, o 10:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Frampol
Podziękował: 9 razy

całka potrójna - kula

Post autor: johny42 » 29 sie 2011, o 11:37

Ok juz widze. I jeszcze raz zapytam czy mozna katy wyznaczac w inny sposob niz z rysunku?
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 20:47 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ