Rozwiąż równanie

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Macple
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 23 sie 2011, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 6 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Macple » 24 sie 2011, o 14:57

\(\displaystyle{ x+\log_{3}(3^{x}-1)=1+\log_{3}2}\)

Wyznaczam dziedzinę równania:
\(\displaystyle{ 3^{x}-1>0 \\ 3^{x}>1 \\ x>0}\)

Przekształcam równanie:
\(\displaystyle{ \log_{3}3^{x}+\log_{3}(3^{x}-1)=\log_{3}3+\log_{3}2 \\ \log_{3}(3^{x}(3^{x}-1))=\log_{3}6 \ \ \ \text{ pomijam logarytm}\\ 3^{x}(3^{x}-1)=6 \\ 3^{x^{2}}-3^{x}-6=0 \\ \text{niech } t=3^{x} \text{ , gdzie } t>1 \\ t^{2}-t-6=0 \\ \Delta=1+24=25 \\ t_{1}=\frac{1-5}{2}=-2 \ \ \text{ odpada bo niezgodne z dziedziną } t \\ t_{2}=\frac{1+5}{2}=3}\)

Podstawiam wartość otrzymanego \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ 3^{x}=3 \\ x=1}\)

Prosiłbym o napisanie czy nie pominąłem żądnego etapu: jakiejś dziedziny itp. oraz czy można zrobić to w inny sposób.
Z góry dziękuję za odpowiedzi
Ostatnio zmieniony 24 sie 2011, o 16:56 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol delty to \Delta. Stosuj jedne tagi [latex][/latex] na całe wyrażenie. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u: http://matematyka.pl/latex.htm .

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: kamil13151 » 24 sie 2011, o 15:02

niech \(\displaystyle{ t=3^{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ t>1}\)
Niby skąd \(\displaystyle{ t>1}\)?

Macple
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 23 sie 2011, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 6 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Macple » 24 sie 2011, o 15:06

Stąd, że dziedzina dla x to: \(\displaystyle{ x>0}\).
Stąd \(\displaystyle{ 3^{x}}\) zawsze bedzie większe od 1. Równałoby się 1 gdyby x mógł być zerem.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: kamil13151 » 24 sie 2011, o 15:07

Imo, chyba można tak napisać (tylko musiałbyś uzasadnić dlaczego). W przykładach książkowych dają \(\displaystyle{ t>0}\) i na końcu sprawdzamy wynik z dziedziną. Tak poza tym to dobrze.

Macple
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 23 sie 2011, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 6 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Macple » 24 sie 2011, o 15:15

Już kiedyś też się nad tym zastanawiałem. To nie ma aż takiego znaczenia bo i tak się wszystko na końcu z dziedzinami posprawdza

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: kamil13151 » 24 sie 2011, o 15:19

Ma znaczenie, gdy piszesz na teście/maturze. Prawdopodobnie za nieuzasadnienie tego co wskazałem na maturze miałbyś odjęte punkty.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: aalmond » 24 sie 2011, o 15:28

czy można zrobić to w inny sposób
Można np. od razu zrobić podstawienie:

\(\displaystyle{ 3 ^{x} -1 = p; \ \ \ p > 0}\)

ODPOWIEDZ