\(\displaystyle{ x+\log_{3}(3^{x}-1)=1+\log_{3}2}\)
Wyznaczam dziedzinę równania:
\(\displaystyle{ 3^{x}-1>0 \\
3^{x}>1 \\
x>0}\)
Przekształcam równanie:
\(\displaystyle{ \log_{3}3^{x}+\log_{3}(3^{x}-1)=\log_{3}3+\log_{3}2 \\
\log_{3}(3^{x}(3^{x}-1))=\log_{3}6 \ \ \ \text{ pomijam logarytm}\\
3^{x}(3^{x}-1)=6 \\
3^{x^{2}}-3^{x}-6=0 \\
\text{niech } t=3^{x} \text{ , gdzie } t>1 \\
t^{2}-t-6=0 \\
\Delta=1+24=25 \\
t_{1}=\frac{1-5}{2}=-2 \ \ \text{ odpada bo niezgodne z dziedziną } t \\
t_{2}=\frac{1+5}{2}=3}\)
Podstawiam wartość otrzymanego \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ 3^{x}=3 \\
x=1}\)
Prosiłbym o napisanie czy nie pominąłem żądnego etapu: jakiejś dziedziny itp. oraz czy można zrobić to w inny sposób.
Z góry dziękuję za odpowiedzi
Rozwiąż równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 23 sie 2011, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 6 razy
Rozwiąż równanie
Ostatnio zmieniony 24 sie 2011, o 16:56 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol delty to \Delta. Stosuj jedne tagi[latex][/latex] na całe wyrażenie. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol delty to \Delta. Stosuj jedne tagi
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Rozwiąż równanie
Niby skąd \(\displaystyle{ t>1}\)?niech \(\displaystyle{ t=3^{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ t>1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 23 sie 2011, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 6 razy
Rozwiąż równanie
Stąd, że dziedzina dla x to: \(\displaystyle{ x>0}\).
Stąd \(\displaystyle{ 3^{x}}\) zawsze bedzie większe od 1. Równałoby się 1 gdyby x mógł być zerem.
Stąd \(\displaystyle{ 3^{x}}\) zawsze bedzie większe od 1. Równałoby się 1 gdyby x mógł być zerem.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Rozwiąż równanie
Imo, chyba można tak napisać (tylko musiałbyś uzasadnić dlaczego). W przykładach książkowych dają \(\displaystyle{ t>0}\) i na końcu sprawdzamy wynik z dziedziną. Tak poza tym to dobrze.
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 23 sie 2011, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 6 razy
Rozwiąż równanie
Już kiedyś też się nad tym zastanawiałem. To nie ma aż takiego znaczenia bo i tak się wszystko na końcu z dziedzinami posprawdza
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Rozwiąż równanie
Ma znaczenie, gdy piszesz na teście/maturze. Prawdopodobnie za nieuzasadnienie tego co wskazałem na maturze miałbyś odjęte punkty.
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Rozwiąż równanie
Można np. od razu zrobić podstawienie:czy można zrobić to w inny sposób
\(\displaystyle{ 3 ^{x} -1 = p; \ \ \ p > 0}\)