Całka krzywoliniowa zorientowana

stachos · Post autor: **stachos** » 24 sie 2011, o 14:32

witam, mam do policzenia takie oto zadanie:

'1. Oblicz całkę:

\(\displaystyle{ \int_{L}^{} xy \mbox{d}x - y \mbox{d}y}\)

gdzie L jest krzywą składającą się z odcinka \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (1,1)}\) i kawałka paraboli \(\displaystyle{ y=x^{3}}\) łączącego punkty \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (1,1)}\)'

prosiłbym o pomoc i w miarę możliwości wytłumaczenie.

skoro są to współrzędne kartezjańskie domyślam się, że należy skorzystać ze wzoru

\(\displaystyle{ \int_{L}^{} P(x,y) \mbox{d}x + Q(x,y) \mbox{d}y = \int_{a}^{b} \left[ P \left( x,g \left( x \right) \right) + Q \left( x,g \left( x \right) \right) \cdot g' \left( x \right) \right] \mbox{d}x}\)

lecz w dalszym ciągu mam trudność aby go zastosować,

pozdrawiam!

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 14:33

Parametryzacja tej krzywej się przyda. Jak wygląda?

stachos · Post autor: **stachos** » 24 sie 2011, o 14:42

w jaki sposob to zrobic?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 14:43

Wpisać w google paametryzacja łuku i czytając o tym.

\(\displaystyle{ x(t)=t}\)

podpowiem.

To ile wynosi

\(\displaystyle{ y(t)}\)
?

stachos · Post autor: **stachos** » 24 sie 2011, o 14:59

w dalszym ciągu nic mi to nie mówi. jednak czy aby na pewno parametryzacja jest przy tym zadaniu niezbędna?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 15:01

No niby nie ( sprowadza się to do tego samego wszak)

To jaki masz problem z tym wzorem zatem?

stachos · Post autor: **stachos** » 24 sie 2011, o 15:21

bo jeżeli chodzi o taką krzywą:

to jak wygląda x i y ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 15:23

Inaczej. Czym jest u nas \(\displaystyle{ g(x)}\) ?

stachos · Post autor: **stachos** » 24 sie 2011, o 15:38

nie mam pewnosci ale powiedzialbym, że

\(\displaystyle{ g(x)}\) to nic innego jak \(\displaystyle{ y=x^{3}}\)

ale co w takim razie z \(\displaystyle{ y=x}\) w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 15:40

Nie rozumiem w ogóle Twojego rozumowania, ale ok.

To wstaw swoje \(\displaystyle{ g}\) do tego wzoru teraz

stachos · Post autor: **stachos** » 24 sie 2011, o 15:57

właśnie nie za bardzo potrafię.

oto co bym wymyślił:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{0} \left( x \cdot x^{3} \right) - \left( \left( x\cdot x^{3} \right) \cdot 3x^{2} \right) \mbox{d}x}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 15:59

Granice całkowania do bani

stachos · Post autor: **stachos** » 24 sie 2011, o 16:06

chodzilo o

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left( x \cdot x^{3} \right) - \left( \left( x\cdot x^{3} \right) \cdot 3x^{2} \right) \mbox{d}x}\)

ale nie chce mi sie wierzyć, że reszta poprawna.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 16:07

Reszta poprawna

stachos · Post autor: **stachos** » 24 sie 2011, o 16:14

ale co sie dzieje z tym

\(\displaystyle{ -ydy}\) ?