Matematyka.pl

Pewna cząsteczka porusza się w kierunku poziomym i w każdej sekundzie pokonuje odległość równą podwojonej odległości pokonanej w sekundzie poprzedzającej. Niech \(\displaystyle{ a_{n}}\) oznacza pozycję cząsteczki po \(\displaystyle{ n}\) sekundach. Podać rekurencyjną zależność dla \(\displaystyle{ a _{n}}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ a _{0}=3}\), zaś \(\displaystyle{ a _{3}=10}\).

Proszę o pomoc

Wydaje mi się że tak:
\(\displaystyle{ a_{n-1}}\) - położenie po n-1 sekundach
\(\displaystyle{ a_{n-1} - a_{n-2}}\) - odległość przebyta pomiędzy \(\displaystyle{ \left( n-1, n-2\right)}\) sekundami
zatem:
\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1} + 2 \cdot (a_{n-1} - a_{n-2})}\)

Sorry, nie doczytałem treści zadania.

\(\displaystyle{ a _{n+1} = a _{n} + 2 ^{n}}\)
To jest prawidłowe rozwiązanie, wystarczy podstawić dla sprawdzenia.

skasowano błędną uwagę

Rozwiązanie Heńka jest prawie dobre, z tym, że zamiast kwadratu powinno być mnożenie przez dwa.

Q.

W takim razie napisz, w czym jest błędny element mojego rozumowaniu, a nie od razu piszesz, że źle.

Nie przedstawiłeś żadnego rozumowania (...)

skasowano błędną uwagę

Q.

Szanowny Qniu, wydaje mi się, że oba wzory rekurencyjne są prawie dobre. W przypadku wzoru Heńka należy na podstawie danych obliczyć \(\displaystyle{ a _{1}}\), żeby można korzystać z tego wzoru, czyli ostatecznie powinno być

\(\displaystyle{ \\ \begin{cases} a _{0}=3 \\ a _{1}=4 \\ a _{n}= a _{n-1}+ 2(a _{n-1}- a _{n-2}) \end{cases} \\}\)

natomiast soulman nie przedstawił żadnego rozumowania, ale napisał dobry wzór na \(\displaystyle{ a _{n+1}}\) a w zadaniu proszą o wzór na \(\displaystyle{ a _{n}}\). Powinno więc być

\(\displaystyle{ \\ \begin{cases} a _{0}=3 \\ a _{n}= a _{n-1}+ 2 ^{n-1} \end{cases}}\)

Rozumowanie może być takie:

\(\displaystyle{ a _{0}= 3 \\
a _{1}= 3+x \\
a _{2}= 3+x+2x \\
a _{3}= 3+x+2x+4x= 10 \Rightarrow 3+7x=10 \Rightarrow 7x=7 \Rightarrow x=1\\
a _{1}-a _{0}=x=1= 2 ^{0} \\
a _{2}-a _{1}= 2x= 2=2 ^{1} \\
a _{3}-a _{2}=4x=4= 2 ^{2} \ itd.}\)

z czego wynika wzór soulmana.

Ok, niniejszym odszczekuję zatem i przepraszam, bo tym razem rzeczywiście wzór jest dobry.

Q.