Matematyka.pl

Jak obliczyć pochodną 3 rzędu funkcji \(\displaystyle{ \arc\tg\left( \frac{1}{x+1} \right)}\)? Chodzi mi o jakiś sposób bo ręcznie jest to za bardzo skomplikowane.

z tym skomplikowanym to chyba przesadziłeś

pierwsza pochodna jest pochodną funkcji złożonej

funkcja wewnętrzna to:
\(\displaystyle{ W= \frac{1}{x+1}}\)
jej pochodna to:
\(\displaystyle{ W'= \frac{1' \cdot (x+1)-1 \cdot (x+1)'}{ (x+1)^{2} }= \frac{0 \cdot (x+1)-1 \cdot 1}{ (x+1)^{2}}= \frac{-1}{ (x+1)^{2} }}\)
funkcja zewnętrzna to:
\(\displaystyle{ Z=\arc\tgW}\)
jej pochodna to:
\(\displaystyle{ Z'= \frac{1}{1+ W^{2} }}\)
po podstawieniu za W otrzymujemy
\(\displaystyle{ Z'= \frac{1}{1+ ( \frac{1}{x+1} )^{2} }= \frac{1}{ \frac{ (x+1)^{2}+1 }{(x+1)^2} }= \frac{(x+1)^{2}}{(x+1)^{2}+1}}\)
a pierwsza pochodna naszej funkcji to będzie
\(\displaystyle{ y'=W' \cdot Z'=\frac{-1}{ (x+1)^{2} } \cdot \frac{(x+1)^{2}}{(x+1)^{2}+1}=\frac{-1}{(x+1)^{2}+1}}\)
druga i trzecia pochodna łatwa do policzenia bo to już jest pochodna ilorazu więc sobie poradzisz dalej

Nie przekształciłem \(\displaystyle{ \frac{1}{1+ \left( \frac{1}{x+1} \right) ^{2} }}\) i chciałem liczyć pochodną \(\displaystyle{ \frac{1}{1+ \left( \frac{1}{x+1} \right) ^{2} } \cdot \frac{-1}{ (x+1)^{2} }}\) dlatego mi się skomplikowane wydawało :]