Co wieksze

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Sebeklu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 sty 2011, o 22:54
Płeć: Mężczyzna

Co wieksze

Post autor: Sebeklu » 23 sie 2011, o 23:10

Proszę o pomoc, ponieważ siedzę nad tym i żaden pomysł mi nie przychodzi do głowy.
Więc krótko.
Co jest większe:
\(\displaystyle{ 2^{18} + 3^{20}}\) czy \(\displaystyle{ 6^{10}}\)
Z góry dziękuje za pomoc.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Co wieksze

Post autor: aalmond » 23 sie 2011, o 23:14

\(\displaystyle{ 3^{20}= (3 ^{2}) ^{10}}\)

Sebeklu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 sty 2011, o 22:54
Płeć: Mężczyzna

Co wieksze

Post autor: Sebeklu » 23 sie 2011, o 23:18

Dzięki za podsuniecie pomysłu. -- 24 sie 2011, o 00:48 --Nie będę zakładał nowego tematu bo problem jest podobny.
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{23}+1 }{2^{25}+1 }}\) Czy \(\displaystyle{ \frac{ 2^{25}+1 }{2^{27}+1 }}\)

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Co wieksze

Post autor: Adifek » 24 sie 2011, o 00:11

\(\displaystyle{ \frac{ 2^{23}+1 }{2^{25}+1 }> \frac{ 2^{25}+1 }{2^{27}+1 } \\ \\ (2^{23}+1)(2^{27}+1)>(2^{25}+1)(2^{25}+1) \\ \\ 2^{50}+2^{27}+2^{23}+1>2^{50}+2^{26}+1 \\ \\ 2^{27}+2^{23}>2^{26} \\ \\ 2^{23}(2^{4}+1)>2^{26} \\ \\ 2^{4}+1>2^{3}}\)

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Co wieksze

Post autor: Lbubsazob » 24 sie 2011, o 00:13

\(\displaystyle{ \frac{ 2^{23}+1 }{2^{25}+1 }= \frac{2^{23}+1}{2^{23} \cdot 2^2+1} \\ \frac{ 2^{25}+1 }{2^{27}+1 } = \frac{2^{23} \cdot 2^2+1}{2^{23} \cdot 2^4+1}}\)

No to podstawiam sobie \(\displaystyle{ t=2^{23}}\)
\(\displaystyle{ \frac{t+1}{4t+1}\stackrel{?}> \frac{4t+1}{16t+1} \\ \frac{t+1+3t-3t}{4t+1} \stackrel{?}> \frac{4t+1+12t-12t}{16t+1} \\ 1- \frac{3t}{4t+1} \stackrel{?}> 1- \frac{12t}{16t+1}}\)
Wystarczy porównać ułamki \(\displaystyle{ \frac{3t}{4t+1}}\) i \(\displaystyle{ \frac{12t}{16t+1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{3t}{4t+1}= \frac{12t}{16t+4}}\), to \(\displaystyle{ \frac{12t}{16t+4}< \frac{12t}{16t+1}}\).

EDYCJA: Powyższy sposób jednak szybszy.

ODPOWIEDZ