Zadania z równań funkcyjnych 2

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
bober77
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 22 sie 2011, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: int

Zadania z równań funkcyjnych 2

Post autor: bober77 » 23 sie 2011, o 18:49

Mam problem w kilku przejściach pewnego dowodu twierdzenia z równań funkcyjnych. Poniżej wpisuję zadania. Bardzo proszę o pomoc. Nijak nie potrafię sobie z tym poradzić.

1) Mamy równość \(\displaystyle{ f(x)-g(x)=g(y)-f(y)}\). Przy założeniu, że \(\displaystyle{ x\neq y}\) wykaż, że \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\).

2) Mamy równość \(\displaystyle{ (x+y)(f'(x-y)-f'(0))=(x-y)(f'(x+y)-f'(0))}\). Przy założeniu, że \(\displaystyle{ x\neq y}\) wykaż, że \(\displaystyle{ f'(x)=ax+b}\).

3) Mamy równość \(\displaystyle{ f(x)-ax=g(y)-ay}\). Przy założeniu, że \(\displaystyle{ x\neq y}\) wykaż, że \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\) i \(\displaystyle{ g(y)=ay+b}\).

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Zadania z równań funkcyjnych 2

Post autor: Crizz » 23 sie 2011, o 22:12

Dziwne te zadania. To "założenie \(\displaystyle{ x \neq y}\)" jest wyjątkowo bzdurne, bo nie wiadomo, do czego ma się odnosić. Miało chyba być "nie podstawiając do wyjściowej równości \(\displaystyle{ x=y}\)". Nie znoszę zadań, w której narzuca się metodę rozwiązania.

1) Spróbuj pokazać, ze \(\displaystyle{ h=f-g}\) jest funkcją stałą, a potem wstaw \(\displaystyle{ h(x)=c}\) do wyjściowego równania

2) Przydałyby się jakieś założenia odnośnie tej funkcji. Rozumiem, że mamy zakładać, iż funkcja posiada pochodną w całej dziedzinie. Jeśli tak, to podziel równanie stronami przez \(\displaystyle{ (x+y)(x-y)}\) (przy odpowiednich założeniach) i zastanów się, jak korzystajac z tego równania, pokazać, że \(\displaystyle{ g(x)=\frac{f ^\prime (x)-f^\prime (0)}{x}}\) jest funkcją stałą.

3) Bardzo proste. Pomyśl, co warto podstawić w miejsce \(\displaystyle{ x}\), a następnie \(\displaystyle{ y}\).

bober77
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 22 sie 2011, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: int

Zadania z równań funkcyjnych 2

Post autor: bober77 » 23 sie 2011, o 23:35

Dokładnie chodziło, tak jak napisałeś nie podstawiać do wyjściowej równości \(\displaystyle{ x=y}\). Dlatego tak ciężko to wyczuć kontekst bo to jest środek dowodu a mija się z celem przepisywać tutaj cały. Wyjściowe równanie było przekształcane i tam było założenie, że \(\displaystyle{ x\neq y}\). Dzięki za wskazówki do zadań, pomyśle nad tym, zwłaszcza do tego 3 już chyba mam pomysł - podstawić najpierw do wyjściowego równania 0 za x i wziąźć \(\displaystyle{ f(0)=b}\)a potem 0 za y i dostaniemy to co chcemy. Nie wiem czy się mylę.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Zadania z równań funkcyjnych 2

Post autor: Crizz » 24 sie 2011, o 14:25

Co do trzeciego - dokładnie coś w ten deseń.

bober77
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 22 sie 2011, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: int

Zadania z równań funkcyjnych 2

Post autor: bober77 » 24 sie 2011, o 18:19

Jest tylko pewien problem z tym zdaniem 3. Jeżeli zrobię takie podstawienie jak napisałem wyżej, to wtedy \(\displaystyle{ f(0)=g(0)=b}\). Nigdzie wcześniej nie otrzymałem równości \(\displaystyle{ f(0)=g(0)}\). Dlatego to budzi moje wątpliwości bo we wniosku wychodzi, że ma być jedna stała b a nie 2 różne jak by wynikało z moich wyliczeń. Z drugiej strony nie wiem czy da się w jakiś sposób tak pokombinować żeby zrobić 2 różne stałe.-- 24 sie 2011, o 18:29 --Natomiast jeżeli chodzi o zadanie 1 to niestety kompletnie nie wiem jak pokazać, że \(\displaystyle{ h=f-g}\) jest funkcją stałą. Wszystko poszłoby gładko przy podstawieniu \(\displaystyle{ x=y}\), ale tego nie niestety nie mogę zrobić. Wyzerowanie którejś ze zmiennych też niestety nie pomoże bo nie mamy równości \(\displaystyle{ f(0)=g(0)}\).

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Zadania z równań funkcyjnych 2

Post autor: Crizz » 24 sie 2011, o 23:03

Co do zadania 3.: jak już masz \(\displaystyle{ f(x)=ax+b_1,g(y)=ay+b_2}\), to podstaw do wyjściowego równania dowolne \(\displaystyle{ x \neq y}\), żeby pokazać, że \(\displaystyle{ b_1=b_2}\).

Co do zadania 1.: korzystając z moich wskazówek, powinieneś otrzymać \(\displaystyle{ h(x)=-h(y)}\). Podstawiasz cokolwiek za \(\displaystyle{ y}\) (np. \(\displaystyle{ y=1}\)) i (prawie) masz dowód, że \(\displaystyle{ h}\) jest stała.

bober77
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 22 sie 2011, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: int

Zadania z równań funkcyjnych 2

Post autor: bober77 » 28 sie 2011, o 18:32

Jeżeli chodzi o zadanie 3, to czy nie wystarczy wstawić funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(y)}\) do wyjściowego równania? Wtedy właśnie wszystko się poredukuje i dostaniemy, że \(\displaystyle{ b_1=b_2}\)

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Zadania z równań funkcyjnych 2

Post autor: Crizz » 28 sie 2011, o 19:42

Też można.

ODPOWIEDZ