Ekstrema funkcji jednej zmiennej

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
gosia19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 350
Rejestracja: 9 maja 2008, o 18:18
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 20 razy

Ekstrema funkcji jednej zmiennej

Post autor: gosia19 » 23 sie 2011, o 08:56

Znajdź ekstrema funkcji \(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{x^2 e^{-x}}}\).

Pochodna \(\displaystyle{ y'=e^{-\frac{x}{3}} \left( \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}} \right)}\) zeruje się tylko w \(\displaystyle{ x=2}\). Jak uzasadnić, że ta funkcja ma także ekstremum w \(\displaystyle{ x=0}\)?
Ostatnio zmieniony 23 sie 2011, o 09:03 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Ekstrema funkcji jednej zmiennej

Post autor: Chromosom » 23 sie 2011, o 09:26

Często popełnianym błędem jest szukanie ekstremów jedynie w tych punktach, gdzie pochodna przyjmuje zerową wartość. Jest to warunek konieczny, ale tylko wtedy gdy pochodna w tym punkcie istnieje. Czyli ekstremum nie może istnieć w tym punkcie, gdzie pochodna istnieje i przyjmuje niezerową wartość. Jeśli jednak funkcja nie jest w danym punkcie różniczkowalna, należy stwierdzić istnienie ekstremum na podstawie definicji. Przykładem takiej funkcji jest \(\displaystyle{ f(x)=|x|}\); nietrudno stwierdzić istnienie ekstremum w odpowiednim punkcie. Znajdź najpierw punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna.

ODPOWIEDZ