Matematyka.pl

Witam

mam taki układ kongruencji:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5x = 6 (\mod 13)\\
3x=6 (\mod 99)\end{cases}}\)

trudność pojawia się gdy na początku mamy \(\displaystyle{ 5x}\) oraz \(\displaystyle{ 3x}\). Z tego co wiem z dzieleniem kongruencji trzeba uważać i raczej go nie stosować. Czy mógłby mnie ktoś naprowadzić na rozwiązanie?

Po pierwsze, druga kongruencja oznacza, że \(\displaystyle{ x\equiv 2 \pmod{33}}\) (na dobrą sprawę tylko uprości liczenie), po drugie polecam poczytać o Chińskim Twierdzeniu o Resztach

w I z nich \(\displaystyle{ x \equiv 9 \pmod {13}}\)

Dziękuje za podpowiedzi.

Zrobiłem to 2 sposobami:

1.Chińskim twierdzeniem o resztach
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x \equiv 9 \pmod{13} \\
x \equiv 2 \pmod{33}
\end{cases}
\\
\\
N = 13 \cdot 33 = 429 \\\\
N _{1} = \frac{429}{13} = 33 \\\\
N _{2} = \frac{429}{33} = 13 \\\\

NWD(13,33) = 1 = 2 \cdot 33 - 5 \cdot 13 \Rightarrow x _{1}=2 \\
NWD(33,13) = 1 = 2 \cdot 33 - 5 \cdot 13 \Rightarrow x _{2}=-5 \equiv 28 \pmod{33} \\

x = 9 \cdot 2 \cdot 33 + 2 \cdot 28 \cdot 13 = 594 + 728 = 1322 \equiv 35 \pmod{429} \\
x = 35 \\}\)


2 sposób, nie wiem czy ma jakakolwiek nazwę:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x \equiv 9 \pmod{13} \\
x \equiv 2 \pmod{33}
\end{cases}
\\
\\
x = 2 + 33 \cdot a
\\
\\
2 + 33a \equiv 9 \pmod{13}\\
33a \equiv 7 \pmod{13} \\
33a = 7 + 13 \cdot b \\
a = \frac{7}{33} + \frac{13}{33} \cdot b \\
x = 9 + 13b}\)

z 1 sposobu wysza dobra liczba, jednak jest on dla mnie trochę zagmatwany. Z 2 też sądze, że wyszo dobrze, jeśli podstawimy za \(\displaystyle{ b=2}\).

- Jak mogę wyliczyć tą 2?
- Czy muszę przekształcić te równania na początku liczenia tak aby z lewej strony zawsze było samo x ? (próbowałem też nie zmieniać, ale wyniki wychodziły trochę różne)