zbiory Zwarte

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
x88x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 22 sie 2011, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska

zbiory Zwarte

Post autor: x88x » 22 sie 2011, o 22:06

Udowodnić, że
a) \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{n}}\) nie jest zwarty
b) podzbiory otwarte (przedziały) w \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{1}}\) nie są zwarte

Dzięki
Ostatnio zmieniony 22 sie 2011, o 22:15 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

zbiory Zwarte

Post autor: mateuszek89 » 22 sie 2011, o 22:52

ad. b
Odcinek \(\displaystyle{ (a,b)}\), \(\displaystyle{ a<b}\) nie jest zwarty, bo możesz skonstruować ciąg \(\displaystyle{ x_n=a+\frac{b-a}{2n}}\) z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego do granicy zawartej w twoim odcinku (sam ciąg jest zbieżny do \(\displaystyle{ a}\)).
Ogólnie w przypadku przestrzeni \(\displaystyle{ R^n}\) zbiory zwarte są domknięte i ograniczone.

Pozdrawiam!

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

zbiory Zwarte

Post autor: Ein » 24 sie 2011, o 14:08

W a) skonstruuj pokrycie zbiorami otwartymi, z których nie można wyjąć podpokrycia skończonego. Ewentualnie skorzystaj z któregoś twierdzenia charakteryzującego zwartość (np. twierdzenie Heinego-Borela, o które również pytałeś).

ODPOWIEDZ