Udowodnić, że
a) \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{n}}\) nie jest zwarty
b) podzbiory otwarte (przedziały) w \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{1}}\) nie są zwarte
Dzięki
zbiory Zwarte
zbiory Zwarte
Ostatnio zmieniony 22 sie 2011, o 22:15 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
mateuszek89
- Użytkownik
- Posty: 1106
- Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: toruń
- Pomógł: 153 razy
zbiory Zwarte
ad. b
Odcinek \(\displaystyle{ (a,b)}\), \(\displaystyle{ a<b}\) nie jest zwarty, bo możesz skonstruować ciąg \(\displaystyle{ x_n=a+\frac{b-a}{2n}}\) z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego do granicy zawartej w twoim odcinku (sam ciąg jest zbieżny do \(\displaystyle{ a}\)).
Ogólnie w przypadku przestrzeni \(\displaystyle{ R^n}\) zbiory zwarte są domknięte i ograniczone.
Pozdrawiam!
Odcinek \(\displaystyle{ (a,b)}\), \(\displaystyle{ a<b}\) nie jest zwarty, bo możesz skonstruować ciąg \(\displaystyle{ x_n=a+\frac{b-a}{2n}}\) z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego do granicy zawartej w twoim odcinku (sam ciąg jest zbieżny do \(\displaystyle{ a}\)).
Ogólnie w przypadku przestrzeni \(\displaystyle{ R^n}\) zbiory zwarte są domknięte i ograniczone.
Pozdrawiam!
-
Ein
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
zbiory Zwarte
W a) skonstruuj pokrycie zbiorami otwartymi, z których nie można wyjąć podpokrycia skończonego. Ewentualnie skorzystaj z któregoś twierdzenia charakteryzującego zwartość (np. twierdzenie Heinego-Borela, o które również pytałeś).