Twierdzenie Heinego-Borela - dowód

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
x88x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 22 sie 2011, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska

Twierdzenie Heinego-Borela - dowód

Post autor: x88x » 22 sie 2011, o 21:59

Proszę o pomoc w udowodnieniu Twierdzenia: Zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawarty w \(\displaystyle{ X}\) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty i ograniczony.
Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 22 sie 2011, o 22:30 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Twierdzenie Heinego-Borela - dowód

Post autor: Adifek » 23 sie 2011, o 00:15

Z jednego ze skryptów:
Domkniętość i ograniczoność nie gwarantuje zwartości w dowolnych przestrzeniach.
Przykład: \(\displaystyle{ X = (0, 1)}\) jest ograniczona i domknieta w sobie, ale nie jest zwarta, bo \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) nie ma podciągu zbieżnego.
Dowód (ale z dodatkowymi założeniami ) jest na angielskiej wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Heine%E2%8 ... el_theorem
W dyskusji do artykułu także jest sporo o dowodzie.

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Twierdzenie Heinego-Borela - dowód

Post autor: Ein » 24 sie 2011, o 14:06

\(\displaystyle{ X}\) musi być skończenie wymiarową przestrzenią unormowaną.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Twierdzenie Heinego-Borela - dowód

Post autor: Wasilewski » 24 sie 2011, o 18:01

To nieprawda (albo nie zrozumiałem sensu wypowiedzi), przecież przestrzeń funkcji holomorficznych na jakimś zbiorze otwartym też ma tę własność.

pipol

Twierdzenie Heinego-Borela - dowód

Post autor: pipol » 24 sie 2011, o 19:09

Dla przestrzeni liniowo topologicznej \(\displaystyle{ X}\) zachodzi równoważnoś:
Domknięte otocznie zera \(\displaystyle{ U}\) jest zwarte \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest skończenie wymiarowa.
Wniosek z tego taki, przestrzeń funkcji holomorficznych na zbiorze otwartym nie zawiera ograniczonego otoczenia zera, tym samym nie jest normowalna.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Twierdzenie Heinego-Borela - dowód

Post autor: Wasilewski » 24 sie 2011, o 19:15

To wiadomo, ale nikt nie twierdził, że jest normowalna.

pipol

Twierdzenie Heinego-Borela - dowód

Post autor: pipol » 24 sie 2011, o 19:29

Wasilewski pisze:To wiadomo, ale nikt nie twierdził, że jest normowalna.
Nie twierdze, że ktoś stwierdził, wynika stąd tylko tyle, że nie zawiera ograniczonego otoczenia zera. Nie widzę więc w czy masz problem?

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Twierdzenie Heinego-Borela - dowód

Post autor: Wasilewski » 24 sie 2011, o 19:35

Po prostu wydawało mi się, że z mojej wypowiedzi wyciągnąłeś wniosek, że sugeruję co innego, a zwyczajnie podałeś ciekawostkę.

ODPOWIEDZ