Całka podwójna po obszarze koła

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: godofmayhem » 22 sie 2011, o 19:02

Mam problem z taką całeczką:

\(\displaystyle{ \iint e^{- x^{2} - y^{2} } \ \mbox{d}x \ \mbox{d}y}\)
Ograniczeniem jest okrąg
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le a^{2}}\)

Zapisuję ją tak:
\(\displaystyle{ \int_{-a}^{a} \int_{ -\sqrt{ a^{2}-x^{2} } }^{ \sqrt{ a^{2}-x^{2}}} e^{-x^{2}-y^{2} }\ \mbox{d}x \ \mbox{d}y}\)

I nie wiem co dalej. Proszę o pomoc. Choćby o wskazówkę.
Ostatnio zmieniony 23 sie 2011, o 18:36 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6312
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1361 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: janusz47 » 22 sie 2011, o 19:07

Wprowadź współrzędne biegunowe, będzie łatwiej.

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: godofmayhem » 22 sie 2011, o 20:22

Właśnie tutaj mam wątpliwości. Czyli podstawiam w całym działaniu \(\displaystyle{ x=a \cdot \cos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ y=a \cdot \sin \alpha}\) , tak? W takim razie przez co całkuję w nowym wyrażeniu? Co pojawia się w miejscu \(\displaystyle{ \mbox{d}x \ i \ \mbox{d}y}\)?
Ostatnio zmieniony 22 sie 2011, o 20:26 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol mnożenia to \cdot

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: aalmond » 22 sie 2011, o 20:27

godofmayhem pisze:Właśnie tutaj mam wątpliwości. Czyli podstawiam w całym działaniu \(\displaystyle{ x=a*\cos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ y=a*\sin \alpha}\) , tak? W takim razie przez co całkuję w nowym wyrażeniu?
Podstawiasz
\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ y=r \cdot \sin \alpha}\)
Co pojawia się w miejscu \(\displaystyle{ \mbox{d}x \ i \ \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ r \cdot \mbox{d} \alpha \cdot \mbox{d}r}\)

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: godofmayhem » 22 sie 2011, o 20:40

A skąd się bierze \(\displaystyle{ r}\) przed \(\displaystyle{ r \cdot \mbox{d} \alpha \cdot \mbox{d}r}\) ?
I mimo podstawienia, działanie nie wygląda przyjaźniej... nie wiem jak policzyć całkę postaci
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{- x^{2} - y^{2} } dx}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: aalmond » 22 sie 2011, o 20:41

Jakobian przekształcenia.

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: godofmayhem » 22 sie 2011, o 20:46

Będę bardzo wdzięczny za wyjaśnienie 'łopatologiczne"

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: aalmond » 22 sie 2011, o 21:00

Jakobian stosuje się przy zamianie zmiennych. Jest to wyznacznik pierwszych pochodnych. Resztę doczytasz.

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: godofmayhem » 22 sie 2011, o 21:18

No dobra, a mógłbyś jeszcze pokazać, jak powinno wyglądać to działanie po tym podstawieniu? Coś mi się tu nie zgadza, a to moje pierwsze zadanie tego typu.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: aalmond » 22 sie 2011, o 21:29

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left ( \int_{0}^{a}r \cdot \mbox {e} ^{-r ^{2} } \mbox {d}r \right ) \mbox{d} \alpha}\)

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: godofmayhem » 23 sie 2011, o 10:49

Nie wiem tylko skąd wzieły się te przedziały całkowania.

Jeśli podstawiam np. \(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\) bezpośrednio do \(\displaystyle{ \int_{ -\sqrt{ a^{2}- x^{2} } }^{ \sqrt{a^{2}- x^{2}} }}\), albo \(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}- x^{2}} = r \cdot \cos \alpha}\), to wychodzą mi dziwne rzeczy...

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: aalmond » 23 sie 2011, o 12:57

Nie wiem tylko skąd wzieły się te przedziały całkowania.
Z tego:
Ograniczeniem jest okrąg
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le a^{2}}\)

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: godofmayhem » 23 sie 2011, o 13:48

Chodziło mi o przedziały w tym działaniu:
aalmond pisze:\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left ( \int_{0}^{a}r \cdot \mbox {e} ^{-r ^{2} } \mbox {d}r \right ) \mbox{d} \alpha}\)
Jak podstawiłeś \(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\) do \(\displaystyle{ \int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{ a^{2}-x^{2} }}^{ \sqrt{ a^{2}-x^{2} } }}\) ?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: aalmond » 23 sie 2011, o 14:24

godofmayhem pisze:Chodziło mi o przedziały w tym działaniu:
aalmond pisze:\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left ( \int_{0}^{a}r \cdot \mbox {e} ^{-r ^{2} } \mbox {d}r \right ) \mbox{d} \alpha}\)
Jak podstawiłeś \(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\) do \(\displaystyle{ \int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{ a^{2}-x^{2} }}^{ \sqrt{ a^{2}-x^{2} } }}\) ?
Dlaczego miałbym tu podstawiać?
Podstawienie:

\(\displaystyle{ x = r \cdot \cos \alpha \\ y = r \cdot \sin \alpha}\)

przekształca koło:

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 \le a}\)

na prostokąt:

\(\displaystyle{ 0 \le r \le a \\ 0 \le \alpha \le 2 \pi}\)

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Całka podwójna po obszarze koła

Post autor: godofmayhem » 23 sie 2011, o 17:30

Wszystko jasne! Dziękuję.

ODPOWIEDZ