Szacowanie ciągu

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Heniek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 14 paź 2010, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin / Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Szacowanie ciągu

Post autor: Heniek1991 » 22 sie 2011, o 14:40

Mam problem z zadaniem: Niech ciąg będzie zdefiniowany w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=2\\ a_{n+1}=a_{n}(a_{n}+1)\end{cases}}\)

Pokaż, że \(\displaystyle{ \log \left( \log \left( a_{n} \right) \right) = \Theta (n)}\)

Próbowałem dwa razy zlogarytmować i potem jakoś wykorzystywać wzór taylora na logarytm, ale nie wychodzi.
Ostatnio zmieniony 22 sie 2011, o 16:04 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji.

frej

Szacowanie ciągu

Post autor: frej » 22 sie 2011, o 18:17

Logarytmujemy i dość grubo szacując mamy:
\(\displaystyle{ 2\ln a_n \le \ln a_n + \ln (a_n +1) = \ln a_{n+1} = \ln a_n + \ln (a_n +1)\le \ln a_n + \ln (e \cdot a_n) = 1+ 2\ln a_n \le 4\ln a_n}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ b_n=\ln a_n}\) mamy \(\displaystyle{ 2 b_n \le b_{n+1} \le 4 b_n}\) i trzeba pokazać \(\displaystyle{ \ln (b_n) = \Theta (n)}\).
No to liczymy
\(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_1} = \frac{b_{n+1}}{b_n} \cdot \frac{b_n}{b_{n-1}} \cdot \ldots \cdot \frac{b_2}{b_1}}\)
i szacujemy każdy czynnik z góry przez \(\displaystyle{ 4}\), z dołu przez \(\displaystyle{ 2}\) i mamy zatem
\(\displaystyle{ b_1 \cdot 2^{n-1} \le b_n \le b_1 \cdot 4^{n-1}}\)
i teraz wystarczy zlogarytmować.

MichalKulis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 19 sty 2011, o 08:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Szacowanie ciągu

Post autor: MichalKulis » 23 sie 2011, o 09:20

frej pisze: \(\displaystyle{ 2\ln a_n \le \ln a_n + \ln (a_n +1) = \ln a_{n+1}}\)
jakim cudem?

ah, dobra już widzę ten mały skrót myślowy;)

ODPOWIEDZ