Styczność wielu kół

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
borovsky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 17 paź 2010, o 08:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Styczność wielu kół

Post autor: borovsky » 21 sie 2011, o 21:11

Witam, zmierzam się z problemem styczności wielu kół.
W zadaniu mamy jedno koło główne (zamalowane na różowo) oraz kilka otaczających go kół. Znamy promienie każdego.
W zadaniu celem jest uzyskanie wszystkich "otaczających kół" stycznych do sąsiednich oraz do głównego :

Problem jest w tym, że nie wszystkie koła spełniają ten warunek (na czerwono) :

Jest oczywistym, że w tej sytuacji nie da się zrobić tak, aby koła otaczające były styczne do siebie oraz do głównego.
A teraz pytanie: jaki rozmiar ma mieć koło główne, aby koła otaczające mogły być styczne do sąsiednich oraz do głównego? równanie: \(\displaystyle{ R (r_{1}, r_{2}, r_{3},...,r_{n})}\) gdzie R to promień głównego, a r to promienie otaczających.
Zadanie drugie - trudniejsze:
Stanem poprawnym będzie stan, gdy koła otaczające są styczne do sąsiednich, a stosunek odległości kół otaczających do koła głównego (na rysunku kolor niebieski) będzie równy stosunkowi pól powierzchni kół otaczających:

to znaczy że tym razem nie zmieniamy promienia koła głównego, tylko odsuwamy koła otaczające z "różną prędkością" zależną od pola powierzchni. To widać na rysunku.
Pytanie: jaka jest suma długości odległości otaczających kół od koła głównego? Na rysunku jest to suma długości niebieskich odcinków. Dzięki tej wartości będę mógł "odsunąć" każde koło w zależności od proporcji.

Jak by ktoś się pytał po co mi to - do zaprogramowania dynamicznego rozmieszczenia diagramów tak aby na siebie nie nachodziły elementy + parę takich tam :)
Pozdrawiam i dziękuję za zaangażowanie,
A.

==========
pokazuje przykład do zad 1:

mamy koła otaczające o promieniach: 2,3,2,3 i jakoś z tych liczb musi wyjść f(2,2,3,3)=1
any idea?

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7283
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 944 razy

Styczność wielu kół

Post autor: Kartezjusz » 23 sie 2011, o 12:35

Przypomnijmy konstrukcję 2 i trzech stycznych do siebie okręgów:
2) budujemy odcinek o długości R+r ,gdzie Ri r to są promienie okręgów.Następnie z końców odcinka kreślimy okręgi.
3)Konstruujemy odcinki o długościach \(\displaystyle{ r_{1}+r_{2}}\)\(\displaystyle{ r_{1}+r_{3}}\)\(\displaystyle{ r_{2}+r_{3}}\) i konstruujemy z nich trójkąt.Wyznaczony będzie przez środki odpowiednich okręgówkonstrukcja zawsze wykonalna.
Schody zaczynają się przy czterech:
4)Konstruujemy odcinki \(\displaystyle{ r_{1}+r{2}}\)\(\displaystyle{ R_{2}+r_{3}}\)\(\displaystyle{ r_{3}+r_{4}}\)
\(\displaystyle{ r_{4}+r_{1}.}\)czworokąt.Wykonalne,jeżeli przekątne mają długości \(\displaystyle{ R_{1}+r{3}}\) oraz\(\displaystyle{ r_{2}+r_{4}}\).
Pierwszy Problem sprowadza się do następującego:
Czy da się promienie okręgów ustawić w ciąg \(\displaystyle{ R,r_{1},r_{2},...,r_{n}}\),aby istniało R takie,że \(\displaystyle{ r_{1},R,r_{n},r{n-1}}\) były do siebie styczne,co określa warunek 4)
Jeśli tak,to wybieramy z promieni kół otaczających promienie \(\displaystyle{ r_{1},r_{n-1},r_{n}}\)i sprawdzamy,dla jakiego R spełniony jest warunek 4.Gdy takie znajdziemy konstruujemy styczność
trójek kół:\(\displaystyle{ R,r_{1},r_{2};R,r_{2},r_{3};...,;R,r_{n},r_{1}}\)

borovsky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 17 paź 2010, o 08:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Styczność wielu kół

Post autor: borovsky » 24 sie 2011, o 22:22

dzięki pomyślę nad tym. Ciekawe czy można wyprowadzić uniwersalny wzór (bo na chłopski rozum - wszystko powinno się skracać do występowania \(\displaystyle{ r_1,r_2,r_3,...}\) gdyż wynik nie może być zależny od niczego innego jak ilość i długości promieni otaczających kół.
Ostatnio zmieniony 24 sie 2011, o 22:28 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7283
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 944 razy

Styczność wielu kół

Post autor: Kartezjusz » 25 sie 2011, o 15:46

I tu tak jest( błędy w TEX)

ODPOWIEDZ