ortogonalizacja bazy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kalik

ortogonalizacja bazy

Post autor: kalik » 21 sie 2011, o 15:10

Stosując proces ortogonalizacji Schmidta do podprzestrzeni \(\displaystyle{ V=\text{lin} ((1,1,1,1),(2,0,1,1),(5,1,1,3)}\) przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ R ^{4}}\) wyznacz bazę ortogonalną podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\). Znaleźć rzut prostopadły "w" wektora \(\displaystyle{ v=(6,5,3,0)}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\)

Wyznaczam najpierw \(\displaystyle{ v _{1}= \frac{(1,1,1,1)}{||w _{1}|| }}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{\langle w _{2},v _{1}\rangle }{||w _{2}|| \cdot ||v _{1}|| }}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{||x||}{||w _{2}|| }}\)
Może ktoś wytłumaczyć skąd się wzięły powyższe zależności?
Ostatnio zmieniony 21 sie 2011, o 15:25 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Iloczyn skalarny zapisuj z użyciem symboli \langle \rangle. Niepoprawny zapis funkcji trygonometrycznych.

shvedeq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 372
Rejestracja: 12 kwie 2010, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 25 razy

ortogonalizacja bazy

Post autor: shvedeq » 22 sie 2011, o 21:43

Normalizację zostaw na koniec. Proces ortogonalizacji w ogóle znasz?
jako \(\displaystyle{ v_1}\) przyjmujesz dowolny wektor z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) (przyjmijmy że \(\displaystyle{ v_1=(1,1,1,1)}\)
wektor \(\displaystyle{ v_2}\) tworzymy w ten sposób, że od drugiego wektora z \(\displaystyle{ V}\) odejmujemy jego rzut na \(\displaystyle{ v_1}\). Ta operacja gwarantuje nam ortogonalność wektorów \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\)
wektor \(\displaystyle{ v_3}\) otrzymujemy odejmując od trzeciego wektora z \(\displaystyle{ V}\) odejmujesz jego rzuty na \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\)
To co napisałem zapisanie we wzorkach znajdziesz tu. Jest tam również rozwiązany przykład.

kalik

ortogonalizacja bazy

Post autor: kalik » 22 sie 2011, o 22:51

czym się róźni proces ortogonalizacji bazy od procesu ortonormalizacji bazy? (różnica w obliczeniach)

Tomek_Z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 807
Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 181 razy

ortogonalizacja bazy

Post autor: Tomek_Z » 22 sie 2011, o 23:28

Mówiąc wprost - ortogonalizacja zapewnia prostopadlość, a normalizacja - jednostkę (czyli długości wektorów bazowych są równe jedności).

ODPOWIEDZ