całka podwójna, obszar koło, o 1 r za dużo

[johanneskate]

\(\displaystyle{ \iint_{x^2+y^2 \le a^2} \sqrt{x^2+y^2}}\)

Podczas rozwiązywanie tej całki stosuję współrzędne biegunowe. Jakobian podstawienia to r, i wychodzi mi o jedno r za dużo. Mianowicie dochodzę do:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} \int_{0}^{2 \pi }r^2 d \alpha dr}\) No i po scałkowaniu po r będzie a^3, czyli coś nie tak... gdzie robię błąd?

[aalmond]

A ile według Ciebie powinno być? Funkcja podcałkowa to nie \(\displaystyle{ f(x,y) = 1}\)

[johanneskate]

Czyli rozumiem, że jest dobrze i po prostu źle się zasugerowałem, że powinien mi wyjść wzór na pole koła. A wcale nie powinien, gdyż z jeśli stałaby jedynka to by to było prawdą?

[aalmond]

gdyż z jeśli stałaby jedynka to by to było prawdą?

Ściśle rzecz biorąc miałbyś wzór na objętość walca o wysokości \(\displaystyle{ 1 ( \pi a^{2} \cdot 1)}\)

[johanneskate]

aalmond, no tak, rzeczywiście.