Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

[[pawciu]]

Stosując całke podwójną chciałbym obliczyc objętość bryły ograniczonej powierzchniami
\(\displaystyle{ x^{2} + 4y^{2} + z = 1}\) oraz \(\displaystyle{ z=0}\)
Czy pierwsza z tych powierzchni będzie paraboloidą o wierzchołku w z=1 zwrócona do dołu??
Problem pojawia się juz przy wyznaczeniu obszaru całkowania. Uzyskuje równanie \(\displaystyle{ x^{2}+ 4y^{2}=1}\) Jak przedstawic to równanie na wykresie ? Proszę o jakieś wskazówki

[aalmond]

Czy pierwsza z tych powierzchni będzie paraboloidą o wierzchołku w z=1 zwrócona do dołu??

Tak. Paraboloida eliptyczna.

Jak przedstawic to równanie na wykresie ?

\(\displaystyle{ x^{2}+ 4y^{2}=1 \\ \\
\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{ \frac{1}{4} } =1}\)

To jest elipsa

[[pawciu]]

Super! Więc zastosuje uogólnione współrzędne biegunowe. Z uogólnionego przekształcenia biegunowego otrzymuje granice całkowania \(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2\pi, 0 \le r \le 1}\). Jacobian przekształcenia \(\displaystyle{ \frac{1}{2} r}\).

\(\displaystyle{ \iint_{D}(1- x^{2}-4 y^{2}) \mbox{d}x \mbox{d}y = \iint_{\Delta}(1- r^{2}) \frac{1}{2}r \mbox{d}r \mbox{d}\varphi = \int\limits_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int\limits_{0}^{1} (1- r^{2}) \frac{1}{2}r \mbox{d}r}\)
Wyliczając do konca wychodzi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)
Jest w porządku ?

[aalmond]

Wygląda dobrze.

[[pawciu]]

Dzięki za sprawdzenie !