Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
[pawciu]
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 3 gru 2010, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nieznana
Podziękował: 16 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

Post autor: [pawciu] » 21 sie 2011, o 13:57

Stosując całke podwójną chciałbym obliczyc objętość bryły ograniczonej powierzchniami
\(\displaystyle{ x^{2} + 4y^{2} + z = 1}\) oraz \(\displaystyle{ z=0}\)
Czy pierwsza z tych powierzchni będzie paraboloidą o wierzchołku w z=1 zwrócona do dołu??
Problem pojawia się juz przy wyznaczeniu obszaru całkowania. Uzyskuje równanie \(\displaystyle{ x^{2}+ 4y^{2}=1}\) Jak przedstawic to równanie na wykresie ? Proszę o jakieś wskazówki

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

Post autor: aalmond » 21 sie 2011, o 14:09

Czy pierwsza z tych powierzchni będzie paraboloidą o wierzchołku w z=1 zwrócona do dołu??
Tak. Paraboloida eliptyczna.
Jak przedstawic to równanie na wykresie ?
\(\displaystyle{ x^{2}+ 4y^{2}=1 \\ \\ \frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{ \frac{1}{4} } =1}\)

To jest elipsa

[pawciu]
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 3 gru 2010, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nieznana
Podziękował: 16 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

Post autor: [pawciu] » 21 sie 2011, o 15:16

Super! Więc zastosuje uogólnione współrzędne biegunowe. Z uogólnionego przekształcenia biegunowego otrzymuje granice całkowania \(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2\pi, 0 \le r \le 1}\). Jacobian przekształcenia \(\displaystyle{ \frac{1}{2} r}\).

\(\displaystyle{ \iint_{D}(1- x^{2}-4 y^{2}) \mbox{d}x \mbox{d}y = \iint_{\Delta}(1- r^{2}) \frac{1}{2}r \mbox{d}r \mbox{d}\varphi = \int\limits_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int\limits_{0}^{1} (1- r^{2}) \frac{1}{2}r \mbox{d}r}\)
Wyliczając do konca wychodzi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)
Jest w porządku ?
Ostatnio zmieniony 21 sie 2011, o 17:45 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

Post autor: aalmond » 21 sie 2011, o 15:20

Wygląda dobrze.

[pawciu]
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 3 gru 2010, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nieznana
Podziękował: 16 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

Post autor: [pawciu] » 21 sie 2011, o 15:25

Dzięki za sprawdzenie !

ODPOWIEDZ