Prawdopodobieństwo geometryczne

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
tommasz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 17 sie 2011, o 11:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: tommasz » 21 sie 2011, o 13:47

Na odcinku [0,1] umieszczono losowo punkty \(\displaystyle{ A_1, \ A_2, \ A_3}\) Jaka jest szansa, że \(\displaystyle{ A_1 \le A_2 \le A_3}\)?

Zadanie to można prosto rozwiązać przez symetrię (zdarzenia pojawienia się w odpowiedniej kolejności są równie prawdopodobne, czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{1}{3!}}\))

Ja jednak chciałem się dowiedzieć czy można to zadanie "zpałować", miałem taki pomysł:
\(\displaystyle{ P(x \le y \le z)=P(x \le y \le z|x \le y)P(x \le y) + P(x \le y \le z| x \ge y)P(x \ge y) = P(y \le z) P(x \le y) = \frac{1}{4}}\)
bo \(\displaystyle{ P(x \le y \le z| x \ge y)=0}\)
No i się nie zgadza...

Awatar użytkownika
Mortify
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 768
Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 164 razy

Prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: Mortify » 21 sie 2011, o 23:46

Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ P(x \le y \le z|x \le y)= \frac{1}{3}}\), bo dla "z" mamy 3 równie prawdopodobne miejsca: \(\displaystyle{ z \le x \le y}\) lub \(\displaystyle{ x \le z \le y}\) lub \(\displaystyle{ x \le y \le z}\).

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: fon_nojman » 22 sie 2011, o 17:05

\(\displaystyle{ P(x \le y \le z|x \le y)=P(x \le y \le z)}\) a nie \(\displaystyle{ P(x \le y \le z|x \le y)=P(y \le z).}\)

Najporządniej byłoby policzyć całkę

\(\displaystyle{ \int_{0 \le x \le y \le z \le 1}1d\mu.}\)

ODPOWIEDZ