Wykazać z definicji zbieżność szeregu.

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
Insol3nt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 20 sie 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 5 razy

Wykazać z definicji zbieżność szeregu.

Post autor: Insol3nt » 21 sie 2011, o 01:41

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{\cos \left(n-1\right)\pi}{4^n}< \infty}\)

Przekształcam to tak:

\(\displaystyle{ \sum_{0}^{ \infty } \frac{\cos \left(n\pi\right)}{4^{n+1}}= \sum_{0}^{ \infty } \frac{\left(-1\right)^n}{16^n}=\sum_{0}^{ \infty } \left( \frac{-1}{16}\right)^n}\)

Jest to szereg geometryczny o \(\displaystyle{ q= - \frac{1}{16}}\)

I z definicji:
\(\displaystyle{ \lim_{ N\to \infty } \sum_{n=0}^{ N } \left(- \frac{1}{16}\right)^n}\)

proszę o sprawdzenie.
Ostatnio zmieniony 21 sie 2011, o 01:44 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: nawiasy, zapis funkcji

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Wykazać z definicji zbieżność szeregu.

Post autor: Chromosom » 21 sie 2011, o 02:08

Twoje przekształcenia nie były konieczne, można było uprościć już pierwotną postać, ale to rozwiązanie też jest poprawne

Awatar użytkownika
Insol3nt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 20 sie 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 5 razy

Wykazać z definicji zbieżność szeregu.

Post autor: Insol3nt » 21 sie 2011, o 02:16

To w takim razie czy prawdziwe jest: \(\displaystyle{ \cos(n-1)\pi = (-1)^{n-1}}\) ?
Ostatnio zmieniony 21 sie 2011, o 02:18 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Wykazać z definicji zbieżność szeregu.

Post autor: Chromosom » 21 sie 2011, o 02:19

podstaw \(\displaystyle{ n=1,\ n=2,\,\ldots}\) i sprawdź

ODPOWIEDZ