nierówność z całką z logarytmu

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
kamilo_han
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

nierówność z całką z logarytmu

Post autor: kamilo_han » 20 sie 2011, o 23:09

Witam,
proszę o podpowiedź jak zauważyć, że dla \(\displaystyle{ r\in\mathbb{N}}\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ \int_{r-\frac{1}{2}}^{r+\frac{1}{2}}{\log x \tr{d}x} < \log r}\)?

Dla ustalonego \(\displaystyle{ r}\) policzyłem całkę

\(\displaystyle{ \left(r+\frac{1}{2}\right)\log\left(r+\frac{1}{2}\right) - \left(r-\frac{1}{2}\right)\log\left(r-\frac{1}{2}\right) - 1 < \log r}\)

dalej z własności logarytmu,

\(\displaystyle{ \log \frac{\left(r+\frac{1}{2}\right)^{\left(r+\frac{1}{2}\right)}}{\left(r-\frac{1}{2}\right)^{\left(r-\frac{1}{2}\right)}} - 1<\log r}\).

Ale tutaj nadal nic nie jestem w stanie stwierdzić

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

nierówność z całką z logarytmu

Post autor: luka52 » 20 sie 2011, o 23:41

Jako, że logarytm jest funkcją wklęsłą, styczna do wykresu dla \(\displaystyle{ x=r}\), będzie znajdować się nad wykresem funkcji.
Zatem porównując całkę z polem odpowiedniego trapezu mamy:

\(\displaystyle{ \int_{r-\frac{1}{2}}^{r+\frac{1}{2}}{\log x \tr{d}x} < \frac{1}{2} \left[ \left( \log r + \frac{1}{r}(r + \frac{1}{2} - r )\right) + \left( \log r + \frac{1}{r} ( r - \frac{1}{2} - r)\right) \right] = \log r}\)


mniej więcej tak :

Powiększenie

kamilo_han
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

nierówność z całką z logarytmu

Post autor: kamilo_han » 21 sie 2011, o 00:36

Ok.. ale skąd takie długości podstaw?
Z rysunku wychodziłoby

\(\displaystyle{ \int_{r-\frac{1}{2}}^{r+\frac{1}{2}}{\log x \tr{d}x} < \frac{1}{2} \left[ \log \left(r + \frac{1}{2}\right) + \log \left( r - \frac{1}{2} \right) \right]}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

nierówność z całką z logarytmu

Post autor: luka52 » 21 sie 2011, o 09:32

Równanie stycznej: \(\displaystyle{ y - \log r = \frac{x - r}{r}}\) i tu podstawiamy \(\displaystyle{ x = r \pm \tfrac{1}{2}}\), bo chodzi o trapez zbudowany z tej stycznej, a nie z wykresu funkcji.

kamilo_han
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

nierówność z całką z logarytmu

Post autor: kamilo_han » 21 sie 2011, o 13:27

Aa.. sorki
Dzięki bardzo - już wszystko jasne

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ