Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
kosa248
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 20 sie 2011, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 2 razy

Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Post autor: kosa248 » 20 sie 2011, o 22:55

Zupełnie przypadkowo znalazłem na wikipedii, że Cantor udowodnił, iż moc przedziału [0,1] jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, tj. nie da się ponumerować wszystkich liczb z tego przedziału. Wydało mi się to dziwne i dało do myślenia, czy rzeczywiście tak jest, bo według mnie są to zbiory równoliczne. Na pewno jestem w błędzie i chciałbym, żeby ktoś mnie z tego błędu wyprowadził.

Skoro Zbiory A i B są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna, próbowałem znaleźć taką funkcję.

Pierwszy banalnie prosty pomysł, jaki wpadł mi do głowy, to do każdej liczby dopisywać z lewej strony "0," jednak wtedy nie będzie to funkcja różnowartościowa:
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 0,1}\)
\(\displaystyle{ 10 \rightarrow 0,1}\)

Wpadłem więc na taki pomysł:
Do dowolnej liczby naturalnej dopisujemy końcówkę "0,0" czyli w praktyce mnożymy ją razy 10 i dopisujemy rozwinięcie dziesiętne do jednego miejsca po przecinku, czyli np.:
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 10,0}\)
\(\displaystyle{ 23 \rightarrow 230,0}\)
\(\displaystyle{ 100 \rightarrow 1000,0}\)
Po takim przekształceniu liczby naturalnej czytamy ją z prawej do lewej i otrzymujemy liczbę z przedziału tym razem[0; 0,1] która jest przyporządkowana do danej liczby naturalnej, np.:
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 0,01}\)
\(\displaystyle{ 23 \rightarrow 0,032}\)
\(\displaystyle{ 100 \rightarrow 0,0001}\)

Na pewno nie ma kilku różnych liczb naturalnych, którym w ten sposób przypisana byłaby ta sama liczba, więc aby przedział [0; 0,1] nie był równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, trzeba znaleźć taką liczbę z przedziału [0; 0,1], z której po odwrotnym przekształceniu (przeczytaniu od prawej strony i podzieleniu przez 10) otrzymamy liczbę nie będącą liczbą naturalną... Co jest niemożliwe...(?)

Teraz jeśli zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny z podzbiorem dodatnich liczb rzeczywistych, to przedział [0,1] jest równoliczny z przedziałem [0; 0,1], a więc jeśli przedział [0; 0,1] jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (udowodnijcie, że moja funkcja nie jest wzajemnie jednoznaczna), to Cantor nie miał racji albo mamy paradoks.

W którym momencie się mylę?

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Post autor: Rogal » 20 sie 2011, o 22:59

Cantor miał rację i oszalał z tego powodu notabene, więc brałbym na poważnie jego pracę. ;-)
Ale fajnie, że w tym wieku Cię coś takiego interesuje.
Proste pytanie - dla jakiej liczby naturalnej ta funkcja osiąga liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}?}\)

kosa248
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 20 sie 2011, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 2 razy

Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Post autor: kosa248 » 20 sie 2011, o 23:08

To pytanie akurat jest niewłaściwe, bo maksymalna wartość funkcji tej wynosi 0,1. Ale sam się sobie dziwię, że zapomniałem o ułamkach mających rozwinięcie dziesiętne nieskończone

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Post autor: Rogal » 20 sie 2011, o 23:15

Ja wiem czy niewłaściwe - wykazało brak bijektywności, a o to chodziło. :D

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26928
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4503 razy

Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Post autor: Jan Kraszewski » 23 sie 2011, o 14:53

Rogal pisze:Cantor miał rację i oszalał z tego powodu notabene, więc brałbym na poważnie jego pracę.
A skąd te informacje? To tylko jakieś popularne i niezbyt prawdziwe pogłoski. Cantor miał chorobę afektywną dwubiegunową (cyklofrenię), ale twierdzenie, że oszalał z powodu ww. dowodu są nieprawdziwe.

JK

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Post autor: Rogal » 23 sie 2011, o 15:31

Oj, to taka anegdotka jak z Gaussem i sumą ciągu arytmetycznego. ;-)
Faktem jednak jest, że wylądował w psychuszce PO stworzeniu podwalin teorii mocy. :P

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26928
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4503 razy

Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Post autor: Jan Kraszewski » 24 sie 2011, o 21:18

Poczytaj dokładniej życiorys Cantora. Jeżeli coś mogło być katalizatorem jego choroby i przyczyniło się do pierwszego ataku cyklofrenii, to raczej konflikt z "matematyczną opinią publiczną" (zwłaszcza z Kroneckerem) oraz kłopoty z hipotezą continuum, a nie stworzenie podwalin teorii mocy.

Ja trochę czytałem, bo pisałem o nim artykuł biograficzny do "Matematyki".

JK

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Post autor: Rogal » 24 sie 2011, o 23:01

Zbyt poważnie to Pan odebrał. Ale nie dziwię się - w końcu to Pański konik i muszą denerwować Pana bezmyślnie powtarzane nieprawdziwe anegdotki na temat twórców tej teorii.
Także obiecuję poprawę i dokształcanie, choć bardziej leży mi akurat Galois. ;-)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26928
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4503 razy

Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Post autor: Jan Kraszewski » 25 sie 2011, o 00:44

Bez przesady, nie aż tak poważnie

Po prostu wydaje mi się, że Cantor na to nie zasłużył. Swoja drogą, kiedyś - mając o Cantorze wiedzę wyłącznie potoczną - też wygłaszałem takie stwierdzenia...

JK

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Moc przedziału[0,1]większa od mocy zbioru liczb naturalnych?

Post autor: Rogal » 25 sie 2011, o 12:58

Dzięki temu ostatniemu zdaniu poczułem się zdecydowanie lepiej. :)

ODPOWIEDZ