całkowanie przez czesci
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 23:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 2 razy
całkowanie przez czesci
Patrząc na niektóre zadania nie mam pojęcia czy one są dobrze czy ja za tępy ...
\(\displaystyle{ \int \left \ln \left(x ^{2} + 1 \right) \mbox{d}x = u \rightarrow 1, u' \rightarrow x, v \rightarrow \ln \left( x ^{2} + 1\right), v' \rightarrow \frac{2x}{x ^{2} + 1}}\)
Jakie jest u to rozumiem, ale dlaczego tyle wynosi v'? Czy v' i v nie powinny być na odwrót?
Pomieszane to wszystko ....
\(\displaystyle{ \int \left \ln \left(x ^{2} + 1 \right) \mbox{d}x = u \rightarrow 1, u' \rightarrow x, v \rightarrow \ln \left( x ^{2} + 1\right), v' \rightarrow \frac{2x}{x ^{2} + 1}}\)
Jakie jest u to rozumiem, ale dlaczego tyle wynosi v'? Czy v' i v nie powinny być na odwrót?
Pomieszane to wszystko ....
Ostatnio zmieniony 21 sie 2011, o 23:01 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
całkowanie przez czesci
\(\displaystyle{ \int u \cdot \mbox{d}v=uv - \int v \cdot \mbox{d}u}\)
To jest wzór do całkowania przez części. Jak widać funkcja podcałkowa 'rozbita' jest na dwa czynniki. Jeden całkujemy, a drugi różniczkujemy.
W Twoim ostatnim przykładzie \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ u'}\) powinny być zamienione miejscami:
\(\displaystyle{ u' = 1 \\
u = x}\)
To jest wzór do całkowania przez części. Jak widać funkcja podcałkowa 'rozbita' jest na dwa czynniki. Jeden całkujemy, a drugi różniczkujemy.
W Twoim ostatnim przykładzie \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ u'}\) powinny być zamienione miejscami:
\(\displaystyle{ u' = 1 \\
u = x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 23:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 2 razy
całkowanie przez czesci
1.\(\displaystyle{ \int \left \ln \left(x ^{2} + 1 \right) \mbox{d}x = u \rightarrow 1, u^\prime \rightarrow x, v \rightarrow \ln \left( x ^{2} + 1\right), v^\prime \rightarrow \frac{2x}{x ^{2} + 1}}\)
2.\(\displaystyle{ x ^{2} \ln x = u \rightarrow \ln x, u^\prime \rightarrow \frac{1}{x}, v \rightarrow \frac{x ^{3} }{3}, v^\prime \rightarrow x ^{2}}\)
Patrząc na dwa przykłady w 1. \(\displaystyle{ u}\) = wyrażenie pierwsze(1), 2. \(\displaystyle{ u}\) = wyrażenie drugie (\(\displaystyle{ \ln x}\)). Od czego to zależy, bo jak dla mnie to zgadywanie, albo przypasowywanie.
2.\(\displaystyle{ x ^{2} \ln x = u \rightarrow \ln x, u^\prime \rightarrow \frac{1}{x}, v \rightarrow \frac{x ^{3} }{3}, v^\prime \rightarrow x ^{2}}\)
Patrząc na dwa przykłady w 1. \(\displaystyle{ u}\) = wyrażenie pierwsze(1), 2. \(\displaystyle{ u}\) = wyrażenie drugie (\(\displaystyle{ \ln x}\)). Od czego to zależy, bo jak dla mnie to zgadywanie, albo przypasowywanie.
Ostatnio zmieniony 21 sie 2011, o 23:02 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
całkowanie przez czesci
Zad. 1 tylko tak:
\(\displaystyle{ \int \left \ln \left(x ^{2} + 1 \right) \mbox{d}x = \begin{vmatrix} u' = 1 &v = \ln(x ^{2} +1)\\u = x &v' = \frac{2x}{x ^{2}+1 }}\end{vmatrix}= x \cdot \ln (x ^{2}+1)- \int \frac{2x ^{2} }{x ^{2} +1}\mbox{d}x}\)
Proponuję taki zapis, jak powyżej. Jest czytelniejszy.
W drugim łatwiej przecież różniczkować logarytm, niż go całkować.
\(\displaystyle{ \int \left \ln \left(x ^{2} + 1 \right) \mbox{d}x = \begin{vmatrix} u' = 1 &v = \ln(x ^{2} +1)\\u = x &v' = \frac{2x}{x ^{2}+1 }}\end{vmatrix}= x \cdot \ln (x ^{2}+1)- \int \frac{2x ^{2} }{x ^{2} +1}\mbox{d}x}\)
Proponuję taki zapis, jak powyżej. Jest czytelniejszy.
W drugim łatwiej przecież różniczkować logarytm, niż go całkować.
Nie używałbym tu słowa 'zgadywanie'. Jeżeli już, to: przewidywanie.jak dla mnie to zgadywanie
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 23:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 2 razy
całkowanie przez czesci
No dobra, ale raz jest to "u" a raz "v". Kiedy mam wiedzieć że to "u" a kiedy "v"??miodzio1988 pisze:W dwoch przykladach rózniczkujemy logarytm.
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
całkowanie przez czesci
Mogę powtórzyć to, co już napisałem:
Rozumiesz ten wzór?\(\displaystyle{ \int u \cdot \mbox{d}v=uv - \int v \cdot \mbox{d}u}\)
To jest wzór do całkowania przez części. Jak widać funkcja podcałkowa 'rozbita' jest na dwa czynniki. Jeden całkujemy, a drugi różniczkujemy.
całkowanie przez czesci
cappadonna, a jak będziesz miał takie całki
\(\displaystyle{ \int x\ln x \mbox{d}x}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int \ln(x)\cdot x \mbox{d}x}\)
To będziesz je liczył różnie?
\(\displaystyle{ \int x\ln x \mbox{d}x}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int \ln(x)\cdot x \mbox{d}x}\)
To będziesz je liczył różnie?
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 23:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 2 razy
całkowanie przez czesci
Jakoś nie rozumiem, juz nie wiem co jest coaalmond pisze:Rozumiesz ten wzór?
abc666-raczej nie
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
całkowanie przez czesci
Jeszcze jeden przykład.
\(\displaystyle{ \int x ^{2} \cdot \sin x \mbox{d}x}\)
Mam iloczyn dwóch funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = g(x) \cdot h(x)=x ^{2} \cdot \sin x}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ g(x) = x ^{2} \\
h(x) = \sin x}\)
Całkuję przez części i zastanawiam się, co różniczkować, a co całkować. Jeżeli zacznę całkować \(\displaystyle{ g(x)}\), to do niczego nie dojdę. Tylko zwiększę stopień potęgi. Stąd wniosek:
Funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) do różniczkowania, a \(\displaystyle{ h(x)}\) do całkowania.
\(\displaystyle{ \int x ^{2} \cdot \sin x \mbox{d}x}\)
Mam iloczyn dwóch funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = g(x) \cdot h(x)=x ^{2} \cdot \sin x}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ g(x) = x ^{2} \\
h(x) = \sin x}\)
Całkuję przez części i zastanawiam się, co różniczkować, a co całkować. Jeżeli zacznę całkować \(\displaystyle{ g(x)}\), to do niczego nie dojdę. Tylko zwiększę stopień potęgi. Stąd wniosek:
Funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) do różniczkowania, a \(\displaystyle{ h(x)}\) do całkowania.
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 23:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 2 razy
całkowanie przez czesci
Pytanko odnośnie wyniku, czy może być?
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ x ^{2} }{\left( x ^{3} + 3\right) ^{2} }= \frac{1}{3} ln\left|\left( x ^{3} + 3 \right) ^2} \right|}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ x ^{2} }{\left( x ^{3} + 3\right) ^{2} }= \frac{1}{3} ln\left|\left( x ^{3} + 3 \right) ^2} \right|}\)