baza przestrzeni wektorowych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: anetaaneta1 » 20 sie 2011, o 11:40

Znaleźć taką wartość parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) by ciąg \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\) gdzie \(\displaystyle{ x_1=(1,2,3) x_2=(3,2,1) x_3=(5,\alpha,5)}\) tworzył bazę

Z góry dzięki

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 11:43

Układ musi być niezależny liniowo.

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: anetaaneta1 » 20 sie 2011, o 11:49

to wyliczyłam z wyznacznika i wyszło mi że \(\displaystyle{ \alpha\neq4}\) ale jak mam sprawdzić generowanie ??? A pozatym w odpowiedziach jest że \(\displaystyle{ \alpha\neq\frac{9}{2}}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 11:56

A mi wyszło \(\displaystyle{ \alpha = 5}\) Nie masz błędu w zapisie?

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: anetaaneta1 » 20 sie 2011, o 11:59

ale ja liczyłam z wyznacznika i wektory są liniowo niezależne jak wyznacznik jest różny od zera to jak ci wyszło ze \(\displaystyle{ \alpha=5}\) ???

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 12:05

Dla \(\displaystyle{ \alpha = 5}\), są liniowo zależne.

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: anetaaneta1 » 20 sie 2011, o 12:07

acha a jak wyliczć \(\displaystyle{ \alpha}\) dla generowania???

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 12:09

Dowolne, różne od \(\displaystyle{ 5}\)

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: anetaaneta1 » 20 sie 2011, o 12:12

a jak to wyliczyłeś ???

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 12:17

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&3&5\\2&2&\alpha\\3& 1 &5\end{array}\right|=10+9 \alpha+10-30-30-\alpha =8 \alpha - 40}\)

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: anetaaneta1 » 20 sie 2011, o 12:20

ale ten wyznacznik to jest to liniowej niezależności a jak się sprawdza wylicza \(\displaystyle{ \alpha}\) żeby generowało całą przestrzeń

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 12:31

aalmond pisze:Dowolne, różne od \(\displaystyle{ 5}\)
Jeżeli weźmiesz \(\displaystyle{ \alpha \neq 5}\), to otrzymasz układ, który jest bazą. Jest ich nieskończenie wiele. Każdy taki układ wygeneruje Ci całą przestrzeń.

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: anetaaneta1 » 20 sie 2011, o 12:34

ale ską to wiadomo ze wygeneruje ??? liczyłeś to jakoś ???

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 12:46

Musisz to robić? Warunki są spełnione.
Jeżeli tak, to rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&5\\2&2&4\\3& 1 &5\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x _{1} \\x _{2} \\x _{3} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}p\\q\\r\end{array}\right]}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}p\\q\\r\end{array}\right]}\)

to właśnie wygenerowany wektor. Stwierdzisz, że można to zrobić jednoznacznie. W ten sam sposób możesz stwierdzić, że dla alpha = 5 nie da się tego zrobić.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

baza przestrzeni wektorowych

Post autor: bartek118 » 20 sie 2011, o 13:35

Zacznijmy od tego, że trzy wektory liniowo niezależne generują \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) bo taki jest jej wymiar

ODPOWIEDZ