Uzasadnienie równości

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Uzasadnienie równości

Post autor: skolukmar » 19 sie 2011, o 22:02

Cześć,

Prosiłbym o wskazówki jak rozwiązać takie zadanko:

Funkcja \(\displaystyle{ f\left(x\right)}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left[1,2\right]}\) jest dana wzorem \(\displaystyle{ f\left(x\right)=e^{\left(x^2\right)}}\) , funkcja \(\displaystyle{ g\left(x\right)}\) jest określona na \(\displaystyle{ \left[e,e^4\right]}\) i jest funkcją odwrotną do \(\displaystyle{ f\left(x\right)}\)
Mam pokazac, że
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}f\left(x\right)\,\text{d}x + \int_{e}^{e^4}g\left(x\right)\,\text{d}x = 2e^4-e}\)
Czyli jest to:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}e^{x^2}\,\text{d}x + \int_{e}^{e^4} \sqrt{\ln \left(x\right)}\, \text{d}x = 2e^4-e}\)
Co podstawić, żeby "wyszło" ?
Ostatnio zmieniony 19 sie 2011, o 22:04 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa zapisu logarytmu oraz różniczek

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Uzasadnienie równości

Post autor: Chromosom » 19 sie 2011, o 22:05

\(\displaystyle{ \ln x=t^2}\)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Uzasadnienie równości

Post autor: Lorek » 19 sie 2011, o 22:50

Może lepiej spróbować popatrzeć na to graficznie?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Uzasadnienie równości

Post autor: aalmond » 19 sie 2011, o 23:47

Ma być: \(\displaystyle{ 2e^4-e}\),

czy: \(\displaystyle{ 2(e^4-e)}\)?

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Uzasadnienie równości

Post autor: skolukmar » 19 sie 2011, o 23:51

W treści jest: \(\displaystyle{ 2e^4-e}\)
Ostatnio zmieniony 19 sie 2011, o 23:53 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Uzasadnienie równości

Post autor: Chromosom » 19 sie 2011, o 23:54

aalmond, wersja podana w treści zadania jest poprawna. Zastosujcie metodę podaną przez Lorek, ponieważ wymaga znacznie mniej obliczeń aniżeli moja propozycja.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Uzasadnienie równości

Post autor: aalmond » 19 sie 2011, o 23:58

Też wpadłem na ten pomysł i w/g moich obliczeń jest to prostokąt o wymiarach: \(\displaystyle{ ( e^{4} - e) \cdot 2}\), ale mogłem oczywiście się pomylić.

-- 20 sierpnia 2011, 00:17 --

Wrzucam swoje obliczenia:
Ukryta treść:    
Znalazłem i poprawiłem błąd w swoich obliczeniach. Nie uwzględniłem pola prostokąta o szerokości 1 między osią 0X i wartością funkcji \(\displaystyle{ f(x) = e ^{x ^{2} }}\) dla \(\displaystyle{ x = 1}\) (prosta \(\displaystyle{ y = e}\))
Ostatnio zmieniony 20 sie 2011, o 01:34 przez aalmond, łącznie zmieniany 5 razy.

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Uzasadnienie równości

Post autor: skolukmar » 20 sie 2011, o 00:23

Jak sobie to narysowałem, to mi wychodzi, że powinno być \(\displaystyle{ e^4-e}\) - drugi bok prostokąta ma dł 1. Nie rozumie skąd się w odpowiedzi bierze \(\displaystyle{ 2e^4}\) ?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Uzasadnienie równości

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 00:27

Zwróć uwagę na to, że wartość funkcji: \(\displaystyle{ \sqrt{\ln \left( e^{4} \right)}=2}\)

-- 20 sierpnia 2011, 01:35 --

Znalazłem i poprawiłem swój błąd.

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Uzasadnienie równości

Post autor: skolukmar » 20 sie 2011, o 15:54

Dziękuję Wam za pomoc

ODPOWIEDZ