Obliczanie granicy ciągu z potęgą

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Obliczanie granicy ciągu z potęgą

Post autor: Giks » 18 sie 2011, o 23:04

Mam taki ciąg i obliczam granice:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( 1- \frac{1}{ n^{2} } \right) ^{n}=\lim_{ n\to \infty } \left[ \left( 1- \frac{1}{n} \right) \left( 1+ \frac{1}{n} \right) \right] ^{n} =\lim_{ n\to \infty } \frac{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n} }{ \left( 1+ \frac{1}{n-1} \right) ^{n} }}\)
Może mi ktoś wytłumaczyć jak to \(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^{n}}\) staje się mianownikiem ułamka równym \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n-1} \right) ^{n}}\)? Jaka tam działa zasada?
Ostatnio zmieniony 19 sie 2011, o 00:33 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu - skalowanie naiwasów.

sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Obliczanie granicy ciągu z potęgą

Post autor: sushi » 18 sie 2011, o 23:14

\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{n}}\) -->wspolny mianownik \(\displaystyle{ \frac{n-1}{n}= \frac{1}{ \frac{n}{n-1} }}\)


\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{n}{n-1} }= \frac{1}{ \frac{(n-1) +1}{n-1} }}\) i rozbic mianownik duzego ułamka na dwa

Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

Obliczanie granicy ciągu z potęgą

Post autor: piti-n » 18 sie 2011, o 23:32

A nie łatwiej zrobić z tego coś takiego \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left\{ \left[ 1+\left( - \frac{1}{n ^{2} } \right) \right] ^{-n ^{2} } \right\} ^{- \frac{1}{n} } =...}\) ??

miodzio1988

Obliczanie granicy ciągu z potęgą

Post autor: miodzio1988 » 18 sie 2011, o 23:36

152288.htm#p27

albo tak

ODPOWIEDZ