W grupie \(\displaystyle{ G}\) dla dowolnych elementów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ aba=bab}\). Dowieść, że grupa \(\displaystyle{ G}\) jest jednoelementowa.
Czy można to zadanie tak rozwiązać?
Grupa jest jednoelementowa, jeśli składa się tylko z \(\displaystyle{ e}\). Skoro powyższa równość zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to przyjmijmy, że \(\displaystyle{ b=e}\), Wówczas mamy \(\displaystyle{ aea=eae}\), a to jest to samo, co \(\displaystyle{ a^2=a}\). Teraz tę ostatnią równość obustronnie mnożymy, przez \(\displaystyle{ a^{-1}}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ a=e}\). Zatem z tego wynika, że \(\displaystyle{ G=\{e\}}\).
jednoelementowa grupa
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
jednoelementowa grupa
Wygląda ok, tylko niektóre zdania bym przeredagował (np. ja na początku myślałem, że coś jest nie tak, dopiero musiałem się wczytać )