jednoelementowa grupa

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

jednoelementowa grupa

Post autor: BlueSky » 18 sie 2011, o 16:26

W grupie \(\displaystyle{ G}\) dla dowolnych elementów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ aba=bab}\). Dowieść, że grupa \(\displaystyle{ G}\) jest jednoelementowa.

Czy można to zadanie tak rozwiązać?
Grupa jest jednoelementowa, jeśli składa się tylko z \(\displaystyle{ e}\). Skoro powyższa równość zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to przyjmijmy, że \(\displaystyle{ b=e}\), Wówczas mamy \(\displaystyle{ aea=eae}\), a to jest to samo, co \(\displaystyle{ a^2=a}\). Teraz tę ostatnią równość obustronnie mnożymy, przez \(\displaystyle{ a^{-1}}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ a=e}\). Zatem z tego wynika, że \(\displaystyle{ G=\{e\}}\).

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

jednoelementowa grupa

Post autor: Lorek » 18 sie 2011, o 16:40

Wygląda ok, tylko niektóre zdania bym przeredagował (np. ja na początku myślałem, że coś jest nie tak, dopiero musiałem się wczytać )

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

jednoelementowa grupa

Post autor: BlueSky » 18 sie 2011, o 16:49

OK, dzięki za pomoc.

ODPOWIEDZ