ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
TheOldSatan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 17 sie 2011, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

Post autor: TheOldSatan » 18 sie 2011, o 12:06

1. Podstawa ostrosłupa jest prostokąt, którego boki maja długość \(\displaystyle{ 6 \ i \ 8cm}\).
wszystkie krawędzie boczne są równe i maja\(\displaystyle{ 7 cm}\) długości. oblicz pole
powierzchni i objętość tego ostrosłupa

2. w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawedz podstawy ma \(\displaystyle{ 6cm}\), a wysokość
\(\displaystyle{ 5 cm}\). oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa

3. W ostrosłupie prawidlowym trójkątnym ściany boczne sa nachylone do
podstawy pod katem \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\). wysokość ścian bocznych ma długość \(\displaystyle{ 4cm}\). oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa.

4. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściany boczne sa nachylone do podstawy pod katem\(\displaystyle{ 60^{\circ}}\). wysokość ścian bocznych ma długość \(\displaystyle{ 4cm}\). oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa.

5. Oblicz pole podstawy, powierzchni bocznej, powierzchni całkowitej i objętości czworościanu foremnego, którego krawędź ma długość \(\displaystyle{ 2cm}\)

6. Oblicz wysokość czworościanu foremnego, które ma długość \(\displaystyle{ a}\)

7. podstawa ostrosłupa jest trojkat prostokątny, którego przyprostokątne maja długość \(\displaystyle{ 2 \ i \ 4 cm}\). z wierzchołka kąta prostego tego trójkąta wychodzi pod katem prostym krawędź boczna ostroslupa o długości \(\displaystyle{ 6cm}\). oblicz pole i objętość

8. oblicz pole i objętość stożka, którego wysokość ma długość \(\displaystyle{ 4}\), a średnica podstawy \(\displaystyle{ 6cm}\)

9. dane sa dwie bryły: stozek w którym długość promienia podstawy jest równa 3dm i wysokość ma długość \(\displaystyle{ \frac{18}{\pi} dm}\) oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny w którym krawędź podstawy ma długość \(\displaystyle{ 4\sqrt{3} dm}\) . Wiedząc, ze objętości tych brył sa równe, wyznacz kat nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy

10. oblicz pole powierzchni i objętość walca, którego promień podstawy ma \(\displaystyle{ 2cm}\), a wysokość \(\displaystyle{ 5cm}\)

11. przekątna przekroju osiowego ma długość \(\displaystyle{ 12cm}\) i tworzy z podstawa walca kat\(\displaystyle{ 60^{\circ}}\). oblicz pole powierzchni i objętość walca



Błagam o rozwiązanie tych zadań. Od tego zależy czy skończę szkołę czy będę kiblować.

Bardzo bym prosił o jak najszybsze rozwiązanie gdyż w poniedziałek mam poprawkę.
Ostatnio zmieniony 18 sie 2011, o 13:06 przez Justka, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania. Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .Poprawa wiadomości.

miodzio1988

ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

Post autor: miodzio1988 » 18 sie 2011, o 12:26

Wszystko sprowadza się do podstawowych wzorów. Jakich? Jakie te wzory nam są potrzebne w każdym zadaniu?

Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

Post autor: wiskitki » 18 sie 2011, o 14:59

Np w zad 1 do obliczenia objętości będzie ci potrzebna wysokość, którą obliczysz z tw Pitagorasa (połowa przekątnej podstawy, wysokość i krawędź boczną tworzą trójkat prostokątny). Krawędź boczną masz podana w zadaniu

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

Post autor: Lbubsazob » 18 sie 2011, o 16:26

Zad. 2
Znasz wysokość i musisz obliczyć długość krawędzi bocznej oraz wysokości ściany bocznej. Zauważ, że wysokość ostrosłupa dzieli wysokość podstawy w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\) licząc od wierzchołka, w dodatku wysokość podstawy ma długość \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt3}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest bokiem podstawy. Krawędź boczną obliczysz z Twierdzenia Pitagorasa, bo wysokość ostrosłupa jest znana, a druga przyprostokątna to właśnie \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wysokości podstawy. Następnie znając krawędź boczną, jesteś w stanie znaleźć długość wysokości ściany bocznej.

Zad. 3
Tym razem masz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, w tym wypadku jest on między \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości podstawy a wysokością ściany bocznej. Jeżeli ma on miarę \(\displaystyle{ 60^\circ}\), to korzystasz tutaj z zależności w trójkącie równobocznym - wysokość ściany bocznej ma długość \(\displaystyle{ 4}\), w takim razie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości podstawy ma długość \(\displaystyle{ 2}\), a wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ \frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3}\) itd.

Zad. 4 jest takie samo jak zad. 3

Zad. 5
Zauważ, że czworościan foremny składa się z 4 trójkątów równobocznych, więc powierzchnia tego jest powierzchnią 4 trójkątów równobocznych o boku \(\displaystyle{ 2}\). Na objętość czworościanu jest wzór: \(\displaystyle{ V=a^3 \frac{\sqrt2}{12}}\).

Zad. 6
Potraktuj to jak zwykły ostrosłup trójkątny, znasz długość podstawy \(\displaystyle{ a}\), wysokość podstawy \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt3}{2}}\) i krawędź boczna również ma długość \(\displaystyle{ a}\). Ponieważ wysokość bryły, \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wysokości podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny (patrz zad. 2), to szukaną wysokość bryły bez problemu obliczysz z Pitagorasa.

Mam nadzieję że dasz sobie radę z tymi zadaniami, dalsze podpowiedzi dopiszę wieczorem.

TheOldSatan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 17 sie 2011, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

Post autor: TheOldSatan » 18 sie 2011, o 20:54

wielkie dzieki. jakos daje rade. moglbys w dalszych zadaniach mnie nakierowac?

miodzio1988

ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

Post autor: miodzio1988 » 18 sie 2011, o 20:56

10. oblicz pole powierzchni i objętość walca, którego promień podstawy ma \(\displaystyle{ 2cm}\), a wysokość \(\displaystyle{ 5cm}\)
http://pl.wikipedia.org/wiki/Walec_%28bry%C5%82a%29

do wzorów wystarczy wstawić...

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

Post autor: aalmond » 18 sie 2011, o 21:06

ad. 7
z wierzchołka kąta prostego tego trójkąta wychodzi pod katem prostym krawędź boczna ostroslupa
ta krawędź, to wysokość ostrosłupa
ściany boczne to trójkąty (w tym dwa prostokątne)

ad. 8
Podstawowe wzory

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

Post autor: Lbubsazob » 18 sie 2011, o 21:08

Zad. 7
Krawędź wychodząca z wierzchołka podstawy pod kątem prostym będzie jego wysokością - więc musisz obliczyć tylko pole podstawy i podstawić do wzoru na objętość.

Zad. 8
Średnica podstawy ma \(\displaystyle{ 6}\), czyli promień ma \(\displaystyle{ 3}\). Z Pitagorasa oblicz krawędź boczną, a potem to już tylko podstaw do wzorów.

Zad. 9
Najpierw oblicz objętość stożka, a potem ułóż odpowiednie równanie, aby obliczyć wysokość ostrosłupa. Jak będziesz znał wysokość bryły, to z Pitagorasa obliczysz wysokość podstawy, a kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy jest właśnie między połową podstawy, a wysokością ściany bocznej.

Zad. 11
Tu znowu korzystasz z zależności w trójkącie równobocznym, przekątna przekroju osiowego jest nachylona pod kątem \(\displaystyle{ 60^\circ}\), czyli średnica podstawy ma \(\displaystyle{ 6}\), a wysokość walca \(\displaystyle{ 6\sqrt3}\). Znając te dane, obliczysz pole i objętość.

TheOldSatan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 17 sie 2011, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

ostrosłupy, bryły obrotowe, kilka zadań

Post autor: TheOldSatan » 18 sie 2011, o 22:57

lbubsazob dziekuje ci. moge ci jutro wyslac rozwiazania do sprawdzenia czy dobrze? odp na PW

ODPOWIEDZ