Optymalizacja, objętość stożka

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Fist90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 5 sty 2011, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy

Optymalizacja, objętość stożka

Post autor: Fist90 » 18 sie 2011, o 11:29

Częśc, mam problem z rozwiązaniem zadania. Mogli byście pomóc je rozwiązać?
Wyznacz stożek o danym polu powierzchni bocznej S i największej objętości V
wskazówka: Można zbadać kwadrat objętości \(\displaystyle{ V^2}\)
Próbowałem wyrazić \(\displaystyle{ v^2}\) jako funkcję wymiarów stożka

Z przekształceń wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{9} \cdot S^2 - \frac{1}{9} \cdot \pi ^2 \cdot r^6}\) ale to chyba jest błędnie rozwiązane. Też nie wiem co dalej zrobić z tym...

Z góry dzięki!
Ostatnio zmieniony 18 sie 2011, o 11:51 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Optymalizacja, objętość stożka

Post autor: aalmond » 18 sie 2011, o 11:59

wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{9} \cdot S^2 - \frac{1}{9} \cdot \pi ^2 \cdot r^6}\)
Powinno wyjść:
\(\displaystyle{ \frac{1}{9} \cdot S^2 \cdot r ^{2} - \frac{1}{9} \cdot \pi ^2 \cdot r^6}\)

teraz pochodna po \(\displaystyle{ r}\)

Fist90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 5 sty 2011, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy

Optymalizacja, objętość stożka

Post autor: Fist90 » 18 sie 2011, o 23:53

Dzięki, już znalazłem mój błąd

Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Optymalizacja, objętość stożka

Post autor: wiskitki » 19 sie 2011, o 11:06

A mógłbyś pokazać, jak doszedłeś do takiego wyniku?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Optymalizacja, objętość stożka

Post autor: Chromosom » 19 sie 2011, o 14:21

wiskitki, skorzystaj ze wzoru na pole powierzchni bocznej oraz objętość stożka

Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Optymalizacja, objętość stożka

Post autor: wiskitki » 19 sie 2011, o 22:49

Pole boczne to \(\displaystyle{ S=\pi r l}\), a objętość\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}\pi r^2 h}\). Z tego wnioskujemy, że \(\displaystyle{ rl= \frac{S}{\pi}= \frac{3V}{\pi r}}\), a więc \(\displaystyle{ r= \frac{S}{\pi l}}\) i \(\displaystyle{ r^2= \frac{3V}{l}}\). W takim razie \(\displaystyle{ \frac{S^2}{\pi^2l^2}= \frac{3V}{l}}\). Wyznaczyłem z tego \(\displaystyle{ \frac{S^2}{\pi^2}=3Vl}\), czyli \(\displaystyle{ l= \frac{S^2}{3\pi^2V}}\). Teraz właśnie nie wiem czego dokładnie szukamy w tym zadaniu, bo objętość jest przecież dana i zastanawiam się jaką funkcje ułożyć ...

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Optymalizacja, objętość stożka

Post autor: Chromosom » 19 sie 2011, o 23:04

Przyznam że cel powyższej metody nie jest dla mnie zrozumiały. Posługujesz się trzema zmiennymi, które wprawdzie są związane odpowiednimi zależnościami, ale obecna postać nie prowadzi do otrzymania wyniku. Proponuję zastosować przekształconą postać wzoru:

\(\displaystyle{ S=\pi r\sqrt{r^2+h^2},\quad r>0,\ h>0\\ \frac{S^2}{\pi^2}=r^2\left(r^2+h^2\right)}\)

możesz teraz zapisać wzór na kwadrat objętości i wyznaczyć \(\displaystyle{ h^2}\) z pierwszego równania.

Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Optymalizacja, objętość stożka

Post autor: wiskitki » 19 sie 2011, o 23:45

Eech, nie sądziłem że ktoś w ogóle się tym zainteresuje Zrobiłem tak jak mówisz: \(\displaystyle{ V^2= \frac{1}{9}\pi^2 r^4 h^2}\), czyli \(\displaystyle{ h^2= \frac{9V^2}{\pi^2 r^4}}\), teraz podstawiam \(\displaystyle{ h^2}\) do wzoru \(\displaystyle{ \frac{S^2}{\pi^2}=r^2\left(r^2+h^2\right)}\) i zostanie mi funkcja zmiennej \(\displaystyle{ r}\) i trzeba wyliczyć pochodań?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Optymalizacja, objętość stożka

Post autor: Chromosom » 19 sie 2011, o 23:52

wiskitki pisze:Zrobiłem tak jak mówisz: \(\displaystyle{ V^2= \frac{1}{9}\pi^2 r^4 h^2}\), czyli \(\displaystyle{ h^2= \frac{9V^2}{\pi^2 r^4}}\), teraz podstawiam \(\displaystyle{ h^2}\) do wzoru \(\displaystyle{ \frac{S^2}{\pi^2}=r^2\left(r^2+h^2\right)}\) i zostanie mi funkcja zmiennej \(\displaystyle{ r}\) i trzeba wyliczyć pochodań?
podobnie, ale trzeba znaleźć maksimum \(\displaystyle{ V}\), zatem musisz znaleźć zależność \(\displaystyle{ V(r)}\), nie \(\displaystyle{ S(r)}\)

Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Optymalizacja, objętość stożka

Post autor: wiskitki » 20 sie 2011, o 08:29

Zgadza się, o tym nie pomyślałem Chromosom jesteś wielki!!! Dzięki za pomoc, nie wiem czemu nie mogę dać ci punktu.

ODPOWIEDZ