całka z trójkąta

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka z trójkąta

Post autor: Chromosom » 19 sie 2011, o 23:08

Nie wiem w jaki sposób patrzysz na ten trójkąt. Wykonaj schemat przedstawiający tę sytuację i zamieść go na forum, wtedy będę mógł Ci powiedzieć co musisz w swojej metodzie poprawić. W przeciwnym wypadku rozwiązanie zadania nie będzie możliwe.

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka z trójkąta

Post autor: patricia__88 » 23 sie 2011, o 21:46


Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka z trójkąta

Post autor: Chromosom » 23 sie 2011, o 21:48

Dobrze. Górna strona to jest ta którą widzisz na rysunku. Możesz zatem przejść do dalszej części rozwiązania.

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka z trójkąta

Post autor: patricia__88 » 24 sie 2011, o 09:01

ok już wiem skąd się wzięły te stałe, jednak w kolejnym etapie nie rozumiem skąd to się bierze:
\(\displaystyle{ 0 \leqslant x \leqslant 1 \ \Phi_{x}=(1,-1,0)\\ 0 \leqslant z \leqslant 2-2x \ \Phi_{z}=(0,- \frac{1}{2}, 1)}\)
Ostatnio zmieniony 24 sie 2011, o 14:18 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol zera: 0

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka z trójkąta

Post autor: Chromosom » 24 sie 2011, o 14:19

jest to obszar całkowania, czyli rzut powierzchni na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxz}\)

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka z trójkąta

Post autor: patricia__88 » 24 sie 2011, o 14:31

Dobrze, ale jak się wyznacza ten obszar całkowania?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka z trójkąta

Post autor: Chromosom » 24 sie 2011, o 20:04

obszar jest rzutem tej powierzchni na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxz}\); stwierdzenie jak ten rzut wygląda w tym przypadku nie powinno być trudne

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka z trójkąta

Post autor: patricia__88 » 24 sie 2011, o 20:18

No jednak nie wiem jak to będzie wyglądać i skąd weźmie się taki zakres \(\displaystyle{ z}\)

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka z trójkąta

Post autor: Chromosom » 24 sie 2011, o 20:23

Popatrz jeszcze raz na swój rysunek od góry. Narysuj dwuwymiarowy kartezjański układ współrzędnych (ze współrzędną \(\displaystyle{ x}\) na osi poziomej oraz \(\displaystyle{ z}\) na pionowej) i zaznacz na nim punkty uwzględniając jedynie współrzędne \(\displaystyle{ x,z}\). Czyli punkt \(\displaystyle{ A=(1,0,0)}\) będzie na Twoim rysunku miał współrzędne \(\displaystyle{ A_1=(1,0)}\). Podobnie postępuj w przypadku pozostałych punktów.

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka z trójkąta

Post autor: patricia__88 » 24 sie 2011, o 20:39

Zatem powinno to wyglądać tak:
http://img853.imageshack.us/img853/6123/trojkat2.png
Jednak wówczas zakres powinien być taki: \(\displaystyle{ 0 \leqslant z \leqslant 2\\ 0 \leqslant x \leqslant 1}\)

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka z trójkąta

Post autor: Chromosom » 24 sie 2011, o 20:42

Rysunek bardzo dobrze, ale granice nie. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ (0,2)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,0)}\) - będzie to górna granica całkowania.

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka z trójkąta

Post autor: patricia__88 » 24 sie 2011, o 20:50

ok wyszło mi \(\displaystyle{ y=2-2x}\) ale skąd wiadomo, że ta górna granica całkowania ma być przy \(\displaystyle{ z}\), anie przy \(\displaystyle{ x}\)

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka z trójkąta

Post autor: Chromosom » 24 sie 2011, o 20:51

jest to obojętne, zależy jedynie od tego po której zmiennej najpierw całkujesz
patricia__88 pisze:ok wyszło mi \(\displaystyle{ y=2-2x}\)
powinno być \(\displaystyle{ z=2-2x}\)

patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka z trójkąta

Post autor: patricia__88 » 24 sie 2011, o 20:53

aha no to jeszcze mam ostatnie pytanie: Jak oblicza się \(\displaystyle{ \Phi_{x}}\) i \(\displaystyle{ \Phi_{z}}\)

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka z trójkąta

Post autor: Chromosom » 25 sie 2011, o 08:32

Gdy ja mam do czynienia z płatem powierzchni danym równaniem jawnym, przy dokonywaniu obliczeń związanych z orientacją wyznaczam współrzędne wektora normalnego bezpośrednio z tego równania. Tutaj w tym celu posłużono się równaniami parametrycznymi tego płata w celu wyznaczenia współrzędnych wektora normalnego - co uważam za niepotrzebną komplikację - niemniej jednak ta metoda również jest poprawna i wytłumaczę Ci ją jeśli musisz z niej skorzystać. W tym zadaniu potraktowano \(\displaystyle{ x,z}\) jako parametry, zatem współrzędne wektorów \(\displaystyle{ \Phi_x,\Phi_z}\) obliczysz różniczkując równanie parametryczne po parametrach.

ODPOWIEDZ