Położenie liczby zespolonej na płaszczyźnie.
: 17 sie 2011, o 16:32
Cześć,
Mam problem z zadaniami:
(a) Liczba zespolona \(\displaystyle{ z}\) leży na okręgu \(\displaystyle{ | z - (2+2i) | =1}\). Czy wynika stąd, że (1) \(\displaystyle{ \Re(z^2) > 0}\) i (2) \(\displaystyle{ \Im(z^2) > 0}\) ?
Wg mnie: Zbiór liczb \(\displaystyle{ z}\) spełniających równanie to okrąg to środku w \(\displaystyle{ (2,2)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Liczby zespolone są postaci: \(\displaystyle{ z = \pm \sqrt{1-(b-2)^2} + (b-2)i}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le b \le 3}\), więc \(\displaystyle{ \Re(z^2) = 1}\) oraz o \(\displaystyle{ \Im(z^2)}\) nie możemy powiedzieć, że jest dodatnia.
Czyli moja odp to (1) tak, (2) nie.
Gdzie jest błąd w moim myśleniu ?
(b) Jest zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ z}\) takich, że \(\displaystyle{ z^6 = z^{10} = 1}\). Wg mnie ten zbiór ma tylko 2 elementy i są to. \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) - tak ?
Proszę o pomoc / wskazówki.
Z góry dzięki
Mam problem z zadaniami:
(a) Liczba zespolona \(\displaystyle{ z}\) leży na okręgu \(\displaystyle{ | z - (2+2i) | =1}\). Czy wynika stąd, że (1) \(\displaystyle{ \Re(z^2) > 0}\) i (2) \(\displaystyle{ \Im(z^2) > 0}\) ?
Wg mnie: Zbiór liczb \(\displaystyle{ z}\) spełniających równanie to okrąg to środku w \(\displaystyle{ (2,2)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Liczby zespolone są postaci: \(\displaystyle{ z = \pm \sqrt{1-(b-2)^2} + (b-2)i}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le b \le 3}\), więc \(\displaystyle{ \Re(z^2) = 1}\) oraz o \(\displaystyle{ \Im(z^2)}\) nie możemy powiedzieć, że jest dodatnia.
Czyli moja odp to (1) tak, (2) nie.
Gdzie jest błąd w moim myśleniu ?
(b) Jest zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ z}\) takich, że \(\displaystyle{ z^6 = z^{10} = 1}\). Wg mnie ten zbiór ma tylko 2 elementy i są to. \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) - tak ?
Proszę o pomoc / wskazówki.
Z góry dzięki