Granica ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
witek010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 215
Rejestracja: 19 lut 2008, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: witek010 » 16 sie 2011, o 20:33

Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane granice:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n+4}{n+3} \right) ^{5-2n}}\)
Ostatnio zmieniony 16 sie 2011, o 20:34 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Granica ciągu

Post autor: ares41 » 16 sie 2011, o 20:35

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{n+4}{n+3}=1+ \frac{1}{n+3}}\)

witek010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 215
Rejestracja: 19 lut 2008, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: witek010 » 16 sie 2011, o 20:40

ares41 pisze:Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{n+4}{n+3}=1+ \frac{1}{n+3}}\)
Do tego doszedłem. Wiem, że powinienem skorzystać ze wzoru: \(\displaystyle{ \left(1+ \frac{1}{n} \right) ^{n} = e}\)

Ale właśnie nie wiem jak to zrobić?
Ostatnio zmieniony 16 sie 2011, o 20:42 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Granica ciągu

Post autor: ares41 » 16 sie 2011, o 20:43

Raczej ze wzoru:
\(\displaystyle{ \lim_{f(n) \to \infty } \left(1+ \frac{1}{f(n)} \right)^{f(n)}=e}\)

witek010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 215
Rejestracja: 19 lut 2008, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: witek010 » 16 sie 2011, o 20:45

ares41 pisze:Raczej ze wzoru:
\(\displaystyle{ \lim_{f(n) \to \infty } \left(1+ \frac{1}{f(n)} \right)^{f(n)}=e}\)
To nie zmienia faktu, że i tak nie wiem jak dalej to zrobić.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Granica ciągu

Post autor: ares41 » 16 sie 2011, o 20:46

Wskazówka:
\(\displaystyle{ 5-2n=(n+3) \cdot \frac{1}{n+3} \cdot (5-2n)}\)
Dalej już prosto.

witek010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 215
Rejestracja: 19 lut 2008, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: witek010 » 16 sie 2011, o 21:02

ares41 pisze:Wskazówka:
\(\displaystyle{ 5-2n=(n+3) \cdot \frac{1}{n+3} \cdot (5-2n)}\)
Dalej już prosto.
Dzięki! Właśnie nie wiedziałem jak to rozpisać.

-- 16 sierpnia 2011, 21:30 --

Aby nie zakładać nowego tematu napiszę w tym samym.
Polecenie takie samo. Przykład trudniejszy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left ( 1 +\frac{(-1) ^{n} }{n} \right) ^{(-1) ^{n}n }}\)
Ostatnio zmieniony 16 sie 2011, o 22:31 przez witek010, łącznie zmieniany 1 raz.

abc666

Granica ciągu

Post autor: abc666 » 16 sie 2011, o 22:18

To \(\displaystyle{ -1}\) w wykładniku miało być w nawiasie?

witek010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 215
Rejestracja: 19 lut 2008, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: witek010 » 16 sie 2011, o 22:32

abc666 pisze:To \(\displaystyle{ -1}\) w wykładniku miało być w nawiasie?
Tak w nawiasie. Już poprawione.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Granica ciągu

Post autor: ares41 » 17 sie 2011, o 11:23

Wskazówka:
Wartość \(\displaystyle{ (-1)^n}\) zależy od tego, czy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste czy nie.

witek010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 215
Rejestracja: 19 lut 2008, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: witek010 » 17 sie 2011, o 11:30

ares41 pisze:Wskazówka:
Wartość \(\displaystyle{ (-1)^n}\) zależy od tego, czy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste czy nie.
Też o tym myślałem, ale za bardzo dalej nie wiem jak ruszyć.
Czy trzeba rozpatrywać dwa przypadki:

1. dla \(\displaystyle{ n<0}\)

2. dla \(\displaystyle{ n>0}\)
Ostatnio zmieniony 17 sie 2011, o 14:07 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

miodzio1988

Granica ciągu

Post autor: miodzio1988 » 17 sie 2011, o 11:31

\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) , więc jak chcesz brać \(\displaystyle{ n}\) ujemne? I jak liczba naturalna może być ujemna? Masakra

witek010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 215
Rejestracja: 19 lut 2008, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: witek010 » 17 sie 2011, o 12:56

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) , więc jak chcesz brać \(\displaystyle{ n}\) ujemne? I jak liczba naturalna może być ujemna? Masakra
Racja, co prawda źle się wyraziłem. Chodziło mi o to czy muszę rozpatrywać oddzielnie dwa przypadki kiedy \(\displaystyle{ (-1)^{n}}\) jest dodatnie i drugi kiedy jest ujemne?

miodzio1988

Granica ciągu

Post autor: miodzio1988 » 17 sie 2011, o 12:58

Tak. Zrób tak

ODPOWIEDZ