Całka szczególna równania niejednorodnego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
embrionek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 lut 2011, o 01:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 1 raz

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: embrionek » 16 sie 2011, o 16:43

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch równań różniczkowych. Potrafię tylko wyliczyć całkę ogólną równania jednorodnego (nawet nie wiem czy dobrze)
1.
\(\displaystyle{ y'' -2y'+y= \frac{e ^{x}}{x}+xe ^{x}}\)

2.
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} +y\tg x=\sin 2x}\)

Odp 1.
C.O.R.J.
\(\displaystyle{ y'' -2y'+y=0 \\ r ^{2} -2r+r=0 \\ \Delta=0\\ r _{1,2}=1 \\ więc y=(C _{1}x+C _{2}) \cdot e ^{x}}\)
i dalej nie potrafię

Mam nadzieje że ktoś mi pomoże bo poprawka już tuż tuż;)
Ostatnio zmieniony 16 sie 2011, o 16:56 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

miodzio1988

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: miodzio1988 » 16 sie 2011, o 16:45

Pomożemy.,
Jakie znasz metody na rozwiązywanie równań niejednorodnych?

embrionek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 lut 2011, o 01:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 1 raz

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: embrionek » 16 sie 2011, o 18:31

znam takie metody jak: metoda uzmienniania stałej i metoda przewidywania

miodzio1988

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: miodzio1988 » 16 sie 2011, o 18:58

Zastosuj pierwszą

embrionek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 lut 2011, o 01:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 1 raz

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: embrionek » 16 sie 2011, o 21:18

w przykładzie nr 2 zrobiłem coś takiego
\(\displaystyle{ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}+y\tg x=0 \setminus\frac{\text{d}x}{y} \\ \int \frac{\text{d}y}{y}= \int \tg x\,\text{d}x \\ \ln \left| y\right| =-\ln \left| \cos x\right|+c \\ \left| y\right| =-\cos x \cdot C _{1} \\ y=-C _{1}\cos x \\ C _{1} \neq 0}\)
uzmiennianie
\(\displaystyle{ y=-u\left(x\right) \cdot \cos x}\)
i dalej nie wiem jak robić jak w pierwszym tak jak i w tym ;/
Ostatnio zmieniony 16 sie 2011, o 22:11 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a

miodzio1988

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: miodzio1988 » 16 sie 2011, o 21:22

Też uzmienniaj stałą

embrionek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 lut 2011, o 01:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 1 raz

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: embrionek » 16 sie 2011, o 22:12

Naprowadź mnie jakoś bardziej albo rozwiąż część tego zadania

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: Karoll_Fizyk » 16 sie 2011, o 22:15

Zapomniałeś o jednym "minusie" przy rozdzielaniu zmiennych, ale to szczegół...
Dalej wyciągnij pochodną z \(\displaystyle{ y}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{ \mbox{d} }{ \mbox{d}x } ( u(x)\cdot\cos x ) = \cos x \cdot u'(x) - u(x) \cdot \sin x}\)
Teraz trzeba ją wstawić do równania początkowego, będzie to wyglądało, tak:
\(\displaystyle{ \cos x \cdot u'(x) - \sin x \cdot u (x) + \cos x \cdot u(x) \cdot \tg x = \sin 2x}\)
Redukujesz co się da... i powinieneś otrzymać równanie:
\(\displaystyle{ \cos x \cdot u'(x) = \sin 2x}\)
Z tego wyprowadzasz równanie funkcji:
\(\displaystyle{ u(x) = - 2 \cos x}\)

Dalej myślę, że dasz sobie radę...
Ostatnio zmieniony 16 sie 2011, o 22:18 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol mnożenia to \cdot

embrionek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 lut 2011, o 01:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 1 raz

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: embrionek » 17 sie 2011, o 21:28

dzięki Karoll_Fizyk. Obliczyłem dalej i wyszło mi ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int u ^{'}(x)= \int -2 \cos x \\ u=-2 \sin x +C \\ y=-2 \sin x \cdot \cos x}\)
rozwiązanie
\(\displaystyle{ y=C _{1} \cos x -2 \sin x \cdot \cos x}\)

Prosze jeszcze o pomoc w rozwiązaniu zadania pierwszego metodą przewidywania najlepiej. Zacząłem je ale dalej nie rusze;/
Ostatnio zmieniony 17 sie 2011, o 21:32 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: Karoll_Fizyk » 18 sie 2011, o 10:42

Masz może odpowiedzi do tych zadań? Jeśli tak, to zgadza się wynik 2 zadania?

miodzio1988

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: miodzio1988 » 18 sie 2011, o 12:29

Karoll_Fizyk, wystarczy wstawić wynik do początkowego równania i sam to zobaczysz

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: Karoll_Fizyk » 18 sie 2011, o 13:03

Jeżeli chodzi o zadania pierwsze, to tak:
1. Zaczynamy od równania jednorodnego: \(\displaystyle{ y'' - 2y' + y = 0}\)
równanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ r ^{2} -2r = 0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \Delta = 4}\)
Do liczenia równań różniczkowych liniowych II rzędu są wzory, tak jak teraz zastosuję jeden z nich...
W naszym przypadku \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) , a zatem stosujemy odpowiedni wzór i otrzymujemy pierwsze rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y _{1} = C _{1} + C _{2} \cdot e ^{2x}}\)
Dalej musisz przewidywać... Wydaje mi się, że dobra będzie funkcja: \(\displaystyle{ y _{2} = e ^{dx} \left( ax + \frac{b}{x} + c \right)}\) , ale nie jestem pewien.
Potem wyciągasz pochodną pierwszego i drugiego rzędu z \(\displaystyle{ y _{2}}\), no i wstawiasz do: \(\displaystyle{ y'' -2y' + y = e ^{x} \left( \frac{1}{x} + x \right)}\)
Później redukujesz i układasz układy równań do wyznaczenia stałych i wsio...

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6744
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1221 razy

Całka szczególna równania niejednorodnego

Post autor: mariuszm » 2 paź 2011, o 07:03

\(\displaystyle{ y^{\prime\prime} -2y^{\prime}+y= \frac{e ^{x}}{x}+xe ^{x}\\ y^{\prime\prime} -2y^{\prime}+y=0\\ \lambda^2-2\lambda+1=0\\ \left( \lambda-1\right)=0\\ y=C_{1}e^{x}+C_{2}xe^{x}\\ \det{\begin{bmatrix} e^{x}&xe^{x} \\e^{x}&\left( x+1\right)e^{x} \end{bmatrix}}=\left( x+1\right)e^{2x}-xe^{2x}=e^{2x}\\ C_{1}^{\prime}\left( x\right)= \frac{1}{e^{2x}} \det{ \begin{bmatrix} 0&xe^{x} \\ \left( \frac{1}{x} +x\right)e^{x}&\left( x+1\right)e^{x} \end{bmatrix} }=-\left( 1+x^2\right)\\ C_{2}^{\prime}\left( x\right)= \frac{1}{e^{2x}} \det{ \begin{bmatrix} e^{x}&0 \\ e^{x}&\left( \frac{1}{x}+x\right)e^{x} \end{bmatrix} }=\left( \frac{1}{x}+x \right)\\ C_{1}=-x- \frac{x^3}{3}\\ C_{2}=\ln{\left| x\right| }+ \frac{x^{2}}{2}\\ \varphi\left( x\right)=-xe^{x}- \frac{x^3}{3}e^{x}+x\ln{\left| x\right| }e^{x}+ \frac{x^3}{2}e^{x}\\ y=\left( \frac{1}{6}x^{3}+x\ln{\left| x\right| } \right)e^{x}+C_{1}e^{x}+C_{2}xe^{x}}\)

ODPOWIEDZ