"Mniej znane" wartości f. trygonometrycznych - obliczanie
: 16 sie 2011, o 15:42
Czy da się zapisać (zapis skończony) \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{180} \right)}\) wyłącznie (nie wszystko musi być użyte, ale nie może być użyte nic ponad to) za pomocą liczb naturalnych z użyciem symboli \(\displaystyle{ (\sqrt[r] ,+,-, \cdot ,/)}\) (działania: potęgowania, dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia)
Ja doszedłem jedynie do tego, że:
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{60} \right) =\frac{ \sqrt{8- \sqrt{15}- \sqrt{3}- \sqrt{10-2 \sqrt{5}}}}{4}}\)
Dalej próbowałem wyznaczyć pierwiastki wielomianu, gdzie \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{180} \right) =x}\):
\(\displaystyle{ -4x^3+3x-\frac{ \sqrt{8- \sqrt{15}- \sqrt{3}- \sqrt{10-2 \sqrt{5}}}}{4}=0}\)
Tutaj pojawił się problem, bo ten wielomian ma 3 pierwiastki rzeczywiste i żadnego z nich nie da się (bezpośrednio ze wzorów na pierwiastki) zapisać bez użycia symbolu funkcji trygonometrycznej (wartość funkcji dla tego argumentu nie jest powszechnie znana). Stąd wątpię czy istnieje skończony zapis \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{180} \right)}\), ale to nie stanowi dowodu.
Czy może ktoś odpowiedzieć na moje pytanie zadane na wstępie?
Ja doszedłem jedynie do tego, że:
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{60} \right) =\frac{ \sqrt{8- \sqrt{15}- \sqrt{3}- \sqrt{10-2 \sqrt{5}}}}{4}}\)
Dalej próbowałem wyznaczyć pierwiastki wielomianu, gdzie \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{180} \right) =x}\):
\(\displaystyle{ -4x^3+3x-\frac{ \sqrt{8- \sqrt{15}- \sqrt{3}- \sqrt{10-2 \sqrt{5}}}}{4}=0}\)
Tutaj pojawił się problem, bo ten wielomian ma 3 pierwiastki rzeczywiste i żadnego z nich nie da się (bezpośrednio ze wzorów na pierwiastki) zapisać bez użycia symbolu funkcji trygonometrycznej (wartość funkcji dla tego argumentu nie jest powszechnie znana). Stąd wątpię czy istnieje skończony zapis \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{180} \right)}\), ale to nie stanowi dowodu.
Czy może ktoś odpowiedzieć na moje pytanie zadane na wstępie?