suma funkcji okresowej

[kamilo_han]

Witam,
proszę o pomoc w przeprowadzeniu dowodu indukcyjnego dla sumy funkcji okresowej.

Funkcja
\(\displaystyle{ \alpha\left( \frac{x}{2}\right) + \alpha\left( \frac{x+1}{2}\right) = \alpha (x)}\)
określona na zbiorze \(\displaystyle{ (0,\infty)}\), klasy \(\displaystyle{ C^1}\), okresowa o okresie 1.

Podstawiając w równaniu \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\), a następnie \(\displaystyle{ \frac{x+1}{2}}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \alpha\left( \frac{x}{4}\right) + \alpha\left( \frac{x+2}{4}\right) = \alpha\left( \frac{x}{2}\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \alpha\left( \frac{x+1}{4}\right) + \alpha\left( \frac{x+3}{4}\right) = \alpha\left( \frac{x+1}{2}\right)}\)
odpowiednio.
Skąd
\(\displaystyle{ \alpha\left( \frac{x}{4}\right) + \alpha\left( \frac{x+1}{4}\right)+\alpha\left( \frac{x+2}{4}\right) + \alpha\left( \frac{x+3}{4}\right) = \\ =\alpha\left( \frac{x}{2}\right) & + \alpha\left( \frac{x+1}{2}\right) =\alpha\left( x\right).}\)
Ustalam dowolne liczby \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\), \(\displaystyle{ x\in (0,\infty)}\) i zakładam, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{2^k -1} \alpha \left( \frac{x+i}{2^k}\right)=\alpha (x).}\)
Niech \(\displaystyle{ n=k+1}\), wtedy
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{2^n -1} \alpha \left( \frac{x+i}{2^n}\right)=\sum_{i=0}^{2^{k+1} -1} \alpha \left( \frac{x+i}{2^{k+1}}\right)= ???.}\)

i tu się zacinam. Podpowie ktoś jak dalej ruszyć?-- 16 sie 2011, o 23:22 --Coś wypociłem przy pomocy literatury - może ktoś spojrzeć i powiedzieć, czy to ma cokolwiek wspólnego z prawdą/matematyką??

Początek jak wyżej do momentu: "Ustalam dowolne liczby \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}, x\in (0,\infty)}\) i zakładam", to ulega zmianie i dalej wyglądałoby to tak:


Niech \(\displaystyle{ k,l\in\bb{N}}\) i \(\displaystyle{ x\in (0,\infty)}\). Z powyższej obserwacji wynika, że dla \(\displaystyle{ k=1}\) i \(\displaystyle{ k=2}\) spełnione jest równanie
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{2^k -1} \alpha \left( \frac{x+i}{2^k}\right)=\alpha (x).}\)
Ustalmy dowolne liczby \(\displaystyle{ k,l\in\bb{N}}\), \(\displaystyle{ x\in (0,\infty)}\) i załóżmy, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{2^k -1} \alpha \left( \frac{x+i}{2^k}\right)=\alpha (x)\quad}\) oraz \(\displaystyle{ \quad \sum_{i=0}^{2^{l} -1} \alpha \left( \frac{x+i}{2^{l}}\right)=\alpha (x).}\)
Podstawiając w pierwszej z równości \(\displaystyle{ \frac{x+m}{2^{l}}}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ m\in\bb{N}}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{2^k -1} \alpha \left( \frac{x+m+2^{l}i}{2^k 2^{l}}\right)=\alpha \left(\frac{x+m}{2^{l}}\right).}\)
Następnie sumując po \(\displaystyle{ m}\) na podstawie drugiej równości, mamy
\(\displaystyle{ \sum_{m=0}^{2^{l} -1} \alpha \left( \frac{x+m}{2^{l}}\right)=\alpha (x).}\)
Zauważmy, że wyrażenie \(\displaystyle{ m+2^{l}i}\) przebiega wszystkie liczby naturalne od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2^{k+l}-1}\), zatem zachodzi tożsamość
\(\displaystyle{ \sum_{p=0}^{2^{k+l} -1} \alpha \left( \frac{x+p}{2^{k+l}}\right)=\alpha (x).}\)