Witam.
W moim zadaniu więcej jest chyba trygonometrii, więc mam nadzieję, że dział wybrałem poprawnie. Zadanie brzmi tak:
Oblicz \(\displaystyle{ \log_2{\sin 54^{\circ}}+2\log_4{\sin 18^{\circ}}}\).
Oczywiście łatwo dojść do wartości \(\displaystyle{ \sin 18^{\circ}}\) i rozwiązać to 'tak jak zawsze w szkole', ale ciekaw jestem, czy jest jakieś fajniejsze i mniej mechaniczne rozwiązanie.
Pozdrawiam.
Oblicz wartość. Sinus pod logarytmem.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 10 razy
Oblicz wartość. Sinus pod logarytmem.
Byłem w stanie dojść jedynie do takiej postaci, może Ci to pomoże:
\(\displaystyle{ \log_2{\sin 54^{\circ}}+2\log_4{\sin 18^{\circ}} = \log_2 ({\sin 54^{\circ} \cdot \sin ^{4} 18^{\circ} })}\)
Przepraszam, że tak słabo... Pozdrawiam!
\(\displaystyle{ \log_2{\sin 54^{\circ}}+2\log_4{\sin 18^{\circ}} = \log_2 ({\sin 54^{\circ} \cdot \sin ^{4} 18^{\circ} })}\)
Przepraszam, że tak słabo... Pozdrawiam!
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Oblicz wartość. Sinus pod logarytmem.
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \log_2 \sin54^{\circ} + 2\log_4 \sin 18^{\circ} = \log_2 \sin54^{\circ}+\log_2 \sin18^{\circ} = \log_2 (\sin18^{\circ}\cos36^{\circ}) (*)}\)
I teraz:
\(\displaystyle{ \sin18^{\circ}\cos36^{\circ} = \frac{2\cos18^{\circ}\sin18^{\circ}\cos36^{\circ}}{2\cos18^{\circ}} = \frac{\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}}{2\cos18^{\circ}} = \frac{2\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}}{4\cos18^{\circ}} = \frac{\sin72^{\circ}}{4\cos18^{\circ}} = \frac{\cos18^{\circ}}{4\cos18^{\circ}} = \frac{1}{4}}\)
Stąd \(\displaystyle{ (*) = -2}\)
\(\displaystyle{ \log_2 \sin54^{\circ} + 2\log_4 \sin 18^{\circ} = \log_2 \sin54^{\circ}+\log_2 \sin18^{\circ} = \log_2 (\sin18^{\circ}\cos36^{\circ}) (*)}\)
I teraz:
\(\displaystyle{ \sin18^{\circ}\cos36^{\circ} = \frac{2\cos18^{\circ}\sin18^{\circ}\cos36^{\circ}}{2\cos18^{\circ}} = \frac{\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}}{2\cos18^{\circ}} = \frac{2\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}}{4\cos18^{\circ}} = \frac{\sin72^{\circ}}{4\cos18^{\circ}} = \frac{\cos18^{\circ}}{4\cos18^{\circ}} = \frac{1}{4}}\)
Stąd \(\displaystyle{ (*) = -2}\)