macierz przeksztalcenia liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kalik

macierz przeksztalcenia liniowego

Post autor: kalik » 15 sie 2011, o 14:47

W przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem liczb zespolonych \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)
dana jest baza \(\displaystyle{ (v_{1},v_{2},v_{3})}\). Przekształcenie \(\displaystyle{ f:V\rightarrow V}\) w tej bazie ma macierz \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} i &0 &0 \\ 0&1 &-1 \\ 0&1 &1 \end{bmatrix}}\)
a) wyznaczyć obraz \(\displaystyle{ f(v)}\) dowolnego wektora \(\displaystyle{ v\in V}\)
b) wyznaczyć wektory własne i wartości własne przekształcenia f.

miodzio1988

macierz przeksztalcenia liniowego

Post autor: miodzio1988 » 15 sie 2011, o 14:48

I problemy mamy konkretnie jakie? W drugim masz tylko umieć policzyć wyznacznik i rozwiązywać układy jednorodne. Zatem problem jest jaki?

Tomek_Z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 807
Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 181 razy

macierz przeksztalcenia liniowego

Post autor: Tomek_Z » 15 sie 2011, o 14:54

W pierwszym \(\displaystyle{ v}\) - dowolny zatem niech \(\displaystyle{ v = av_1 + bv_2 + c_{v3}}\), \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ f(v) = A(v) = \begin{bmatrix} i &0 &0 \\ 0&1 &-1 \\ 0&1 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a \\ b\\ c \end{bmatrix}=...}\)

kalik

macierz przeksztalcenia liniowego

Post autor: kalik » 15 sie 2011, o 15:12

\(\displaystyle{ f(v)=(ai,b-c,b+c)}\) ?-- 15 sie 2011, o 16:09 --jak rozwiązać równanie \(\displaystyle{ -\lambda^{3}+(2+i)\lambda ^{2}-(2i+1)\lambda +i=0}\)

Tomek_Z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 807
Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 181 razy

macierz przeksztalcenia liniowego

Post autor: Tomek_Z » 15 sie 2011, o 16:32

\(\displaystyle{ f(v)=(ai,b-c,b+c)}\) ?
Tak.
jak rozwiązać równanie \(\displaystyle{ -\lambda^{3}+(2+i)\lambda ^{2}-(2i+1)\lambda +i=0}\)
\(\displaystyle{ -\lambda^{3}+(2+i)\lambda ^{2}-(2i+1)\lambda +i= -(\lambda -1)^2(\lambda -i)}\)

kalik

macierz przeksztalcenia liniowego

Post autor: kalik » 15 sie 2011, o 17:11

wyszło mi:
\(\displaystyle{ (i-\lambda )(1-\lambda )^{2}+i-\lambda}\) (wyznacznik), nie zauważyłem że można wyłączyć
\(\displaystyle{ i-\lambda}\) , wtedy \(\displaystyle{ (i-\lambda)(\lambda ^{2}-2\lambda +2)}\)
gdzie popełniam bład?

Tomek_Z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 807
Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 181 razy

macierz przeksztalcenia liniowego

Post autor: Tomek_Z » 15 sie 2011, o 17:24

Teraz jest wszystko ok. Zatem znasz już wartości własne.

kalik

macierz przeksztalcenia liniowego

Post autor: kalik » 14 wrz 2011, o 09:27

Czy istnieje baza w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\) , w której macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) ma postać diagonalną? Jeżeli taka baza istnieje to wskazać tę bazę.

ODPOWIEDZ