Szeregi kryterium porównawcze

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Giks » 15 sie 2011, o 14:15

Mam takie polecenie:
Stosując kryterium porównawcze zbadaj zbieżność szeregu
i przykład:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{n \sqrt{n+1} } }}\)
Jak to mogę rozwiązać? Tzn jaki dobrać szereg do porównania?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Chromosom » 15 sie 2011, o 14:15

szereg harmoniczny

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Giks » 15 sie 2011, o 14:22

Też tak myślałem ale np. dla \(\displaystyle{ n=2}\) będzie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2 \sqrt{3} } }}\)
co daje około \(\displaystyle{ 0.53}\)
a w harmonicznym \(\displaystyle{ \tfrac12}\) czyli \(\displaystyle{ 0.5}\) czyli
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n \sqrt{n+1} } }}\)nie jest \(\displaystyle{ \le \frac{1}{n}}\) dla każdego n....

Czy coś źle rozumiem?
Ostatnio zmieniony 15 sie 2011, o 14:24 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Chromosom » 15 sie 2011, o 14:24

http://pl.wikipedia.org/wiki/Kryteria_z ... reg%C3%B3w
Ciebie interesuje kryterium porównawcze w postaci granicznej

miodzio1988

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: miodzio1988 » 15 sie 2011, o 14:27

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n \sqrt{n+1} } } \ge \frac{1}{ \sqrt{n \sqrt{2n } } }}\)

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Giks » 15 sie 2011, o 14:30

Chodzi o to, że od 2 w górę \(\displaystyle{ a _{n} \ge b _{n}}\) i \(\displaystyle{ b_{n}}\) jako harmoniczny jest rozbieżny więc i \(\displaystyle{ a _{n}}\) jest rozbieżny?

miodzio1988

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: miodzio1988 » 15 sie 2011, o 14:32

Zgadza się

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Giks » 15 sie 2011, o 14:56

A taki przykład?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sqrt{\sin \frac{1}{n} }}\)
Co tu można dopasować?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Chromosom » 15 sie 2011, o 14:56

\(\displaystyle{ \sin x<x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Giks » 15 sie 2011, o 15:05

Czyli może być tak, że:
\(\displaystyle{ \sin x<x}\) więc
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sqrt{\sin \frac{1}{n} }< \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{1}{n} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{1}{n} }}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) więc \(\displaystyle{ a _{n}}\) też jest zbieżny?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Chromosom » 15 sie 2011, o 15:06

Giks pisze:\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{1}{n} }}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) więc \(\displaystyle{ a _{n}}\) też jest zbieżny?
to nie jest fakt na podstawie którego możesz stwierdzić zbieżność, zastosuj odpowiednie kryterium

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Giks » 15 sie 2011, o 15:07

No tak to jest tylko warunek który jeśli nie jest spełniony to wiadomo co... więc co dalej mogę zrobić?

miodzio1988

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: miodzio1988 » 15 sie 2011, o 15:08

Zapisać to w postaci

\(\displaystyle{ \frac{1}{n ^{a} }}\)

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: Giks » 15 sie 2011, o 15:18

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sqrt{\sin \frac{1}{n} }< \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{1}{n} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sqrt{\sin \frac{1}{n} }< \frac{1}{n} \frac{1}{n ^{ \frac{1}{2}}}}\)
Czy \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \frac{1}{n ^{ \frac{1}{2}}}= \frac{1}{n}}\)?

miodzio1988

Szeregi kryterium porównawcze

Post autor: miodzio1988 » 15 sie 2011, o 15:19

Nie. Widzimy braki na poziomie gimnazjum, więc proszę wziąć książkę z tego okresu i nauczyć się działań na potęgach

ODPOWIEDZ